1) Сколько способов выбрать двух кандидатов из Андреева, Бо, Рисова, Васильева и Григорьева, чтобы они участвовали

Конечно, я с радостью помогу вам с решением этих задач. Давайте начнем с первой задачи.

1) Для решения этой задачи нам нужно найти количество способов выбрать двух кандидатов из пяти возможных. Используем комбинаторику для этого.

Для выбора двух кандидатов из пяти мы можем использовать сочетания без повторений. Формула для вычисления числа сочетаний без повторений из \(n\) элементов по \(k\) элементов выглядит следующим образом: \({{n}\choose{k}} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\).

Применяя эту формулу к нашей задаче, где \(n = 5\) и \(k = 2\), получим:

\({{5}\choose{2}} = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10\).

Таким образом, существует 10 способов выбрать двух кандидатов из Андреева, Бо, Рисова, Васильева и Григорьева для участия в выборах.

Продолжим со второй задачей.

2) В данной задаче нам нужно найти количество необходимых дорог, чтобы можно было проехать напрямую из любого города в любой другой город, при условии, что на острове расположены четыре города.

Чтобы ответить на этот вопрос, нам необходимо построить полносвязный граф, где каждый город соединен с каждым другим городом. В этом случае, каждая пара городов должна быть соединена дорогой.

Таким образом, для четырех городов мы должны построить следующие дороги:
- Город 1 соединен с Городом 2, Городом 3 и Городом 4 (всего 3 дороги).
- Город 2 соединен с Городом 3 и Городом 4 (всего 2 дороги).
- Город 3 соединен с Городом 4 (всего 1 дорога).

Суммируя количество дорог, получаем: 3 + 2 + 1 = 6.

Таким образом, нам потребуется проложить 6 дорог, чтобы можно было проехать напрямую из любого города в любой другой город на острове.

Перейдем к третьей задаче.

3) Здесь нам нужно найти количество возможных вариантов выбора старосты и ответственного за дежурство из класса, состоящего из 24 человек.

Для выбора старосты у нас есть 24 возможных варианта, так как каждый из учеников может стать старостой.

После выбора старосты у нас остается 23 человека для выбора ответственного за дежурство, так как один ученик уже стал старостой.

Таким образом, общее количество вариантов выбора старосты и ответственного за дежурство равно \(24 \cdot 23 = 552\) способам.

Перейдем к четвертой задаче.

4) Для решения этой задачи нам нужно найти количество способов выбрать двух дежурных из класса, состоящего из 24 человек.

Мы можем использовать комбинаторику для решения этой задачи. Используем формулу для сочетаний без повторений, где \(n = 24\) (количество людей в классе) и \(k = 2\) (количество дежурных, которых нужно выбрать).

Применяя эту формулу, получаем:

\({{24}\choose{2}} = \frac{{24!}}{{2! \cdot (24-2)!}} = \frac{{24!}}{{2! \cdot 22!}} = \frac{{24 \cdot 23}}{{2 \cdot 1}} = 12 \cdot 23 = 276\).

Следовательно, существует 276 способов выбрать двух дежурных из класса, состоящего из 24 человек.

Продолжим с пятой задачей.

5) Здесь нам нужно определить количество возможных вариантов выбора двух разных драгоценных камней из группы, имеющей несколько камней.

Пусть у нас есть \(n\) различных камней. Чтобы выбрать два разных камня из этой группы, мы можем использовать сочетания без повторений.

Формула для вычисления числа сочетаний без повторений из \(n\) элементов по \(k\) элементов выглядит так: \({{n}\choose{k}} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\).

Применим эту формулу для нашей задачи, где \(n\) будет количеством камней в группе, а \(k = 2\), так как нам нужно выбрать два камня:

\({{n}\choose{2}} = \frac{{n!}}{{2! \cdot (n-2)!}} = \frac{{n!}}{{2! \cdot (n-2)!}}\).

Таким образом, количество возможных вариантов выбора двух разных драгоценных камней будет равно \({{n}\choose{2}}\).

Помните, что для определенного значения \(n\) можно вычислить точное количество способов выбора двух камней, используя эту формулу.

Я надеюсь, что эти объяснения помогли вам понять решение этих задач. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!