Чи можна довести, що вираз 5^30 - 5^29 - 5^28 кратний числу

Для решения этой задачи нам потребуется использовать некоторые свойства арифметики и теории чисел.

В данной задаче мы имеем выражение \(5^{30} - 5^{29} - 5^{28}\) и нужно доказать, что оно кратно числу \(24\).

Шаг 1: Факторизуем числа

Для начала, рассмотрим факторизацию числа \(24\). \(24\) можно представить в виде произведения простых множителей: \(24 = 2^3 \cdot 3^1\).

Шаг 2: Факторизуем выражение

Теперь разложим каждое слагаемое на множители:

\(5^{30} = (5^3)^{10} = (125)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}\),

\(5^{29} = (5^3)^9 = (125)^9 = 2^9 \cdot 5^9\),

\(5^{28} = (5^3)^8 = (125)^8 = 2^8 \cdot 5^8\).

Шаг 3: Выделим общие множители

Заметим, что общим множителем для всех трех слагаемых является \(2^8 \cdot 5^8\) (максимально возможное число, которое мы можем выделить).

Шаг 4: Упростим

Мы можем сократить общий множитель из каждого слагаемого:

\(5^{30} - 5^{29} - 5^{28} = (2^{10} \cdot 5^{10}) - (2^9 \cdot 5^9) - (2^8 \cdot 5^8)\)

\(= 2^8 \cdot 5^8 \cdot ((2^2 \cdot 5^2) - (2 \cdot 5) - 1)\).

Шаг 5: Проверим кратность числу 24

Теперь мы имеем выражение вида \(2^8 \cdot 5^8 \cdot ((2^2 \cdot 5^2) - (2 \cdot 5) - 1)\). Нас интересует, будет ли это выражение кратным числу \(24\), то есть, кратно ли оно \(2^3 \cdot 3^1\).

Проверим это, подставив значение \(2^2 \cdot 5^2 - 2 \cdot 5 - 1\) вместо скобок:

\(2^8 \cdot 5^8 \cdot ((2^2 \cdot 5^2) - (2 \cdot 5) - 1)\)
\(= 2^8 \cdot 5^8 \cdot (4 \cdot 25 - 10 - 1)\)
\(= 2^8 \cdot 5^8 \cdot (100 - 11)\)
\(= 2^8 \cdot 5^8 \cdot 89\).

Шаг 6: Ответ

Так как \(2^8 \cdot 5^8 \cdot 89\) содержит множитель \(2^3 \cdot 3^1\), а именно \(2^5 \cdot 5^5 \cdot 3\), то мы можем заключить, что выражение \(5^{30} - 5^{29} - 5^{28}\) кратно числу \(24\).

Весь процесс решения данной задачи был представлен пошагово с детальными объяснениями, чтобы облегчить понимание данной математической задачи.