1. Представить графический эскиз функции y=x^(-5). а) Определить область определения и диапазон значений функции

Хорошо, давайте рассмотрим задачу поэтапно.

1. Представление графического эскиза функции \(y=x^{-5}\).

Для начала, давайте построим график функции \(y=x^{-5}\). Для этого нам понадобятся некоторые значения \(x\) и соответствующие значения \(y\). Давайте возьмем несколько значений для \(x\) и вычислим соответствующие значения \(y\).

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y=x^{-5} \\
\hline
-2 & -0.03125 \\
-1 & -1 \\
-0.5 & -32 \\
-0.1 & -100000 \\
0 & \text{неопределено} \\
0.1 & 100000 \\
0.5 & 32 \\
1 & 1 \\
2 & 0.03125 \\
\hline
\end{array}
\]

Используя эти значения, мы можем построить график функции.

\[ Обратите внимание, что график функции \(y=x^{-5}\) будет иметь форму гиперболы с центром в точке (0,0). График будет проходить через точку (1,1) и будет стремиться к бесконечности по обе стороны от оси x. Возможно, некоторые точки на графике будут сложно выразить осмысленными числами, но мы можем определить их приблизительные значения.

2. Область определения и диапазон значений функции.

Область определения функции \(y=x^{-5}\) - это множество всех допустимых значений для переменной \(x\), при которых функция имеет определение. В данном случае, функция \(y=x^{-5}\) имеет определение для любого \(x\), кроме \(x=0\), так как в точке \(x=0\) функция не определена.

Диапазон значений функции \(y=x^{-5}\) - это множество всех возможных значений, которые функция может принимать. В данном случае, диапазон значений функции \(y=x^{-5}\) - это все положительные числа, больше нуля. Функция всегда дает положительные значения, даже при отрицательных значениях \(x\).

3. Исследование интервалов, на которых функция является убывающей.

Чтобы определить интервалы, на которых функция \(y=x^{-5}\) является убывающей, нам нужно проанализировать знак производной функции. Для нашей функции \(y=x^{-5}\), производная выглядит следующим образом:

\[
y"=-5x^{-6}
\]

Производная \(y"=-5x^{-6}\) всегда отрицательна для любого \(x \neq 0\), так как \(x^{-6}\) всегда положительно, и умножение на -5 дает отрицательное значение.

Таким образом, функция \(y=x^{-5}\) является убывающей на всей области определения, за исключением точки \(x=0\).

4. Сравнение значений \(3^2\) и \((3 \sqrt{2})^2\)

Для удобства, давайте возведем оба значения в степень -5:

\((3^2)^{-5}\) и \((3 \sqrt{2})^ {-5}\)

\((3^2)^{-5} = 3^{-10}\) и \((3 \sqrt{2})^{-5} = (3^2 \cdot 2)^{-5} = (9 \cdot 2)^{-5} = 18^{-5}\)

Теперь предлагаю посчитать оба значения:

\((3^{-10} = \frac{1}{3^{10}}\) и \(18^{-5} = \frac{1}{18^5}\)

Округлив значения до ближайшего числа, получаем:

\(\frac{1}{3^{10}} \approx 1.6935 \times 10^{-6}\) и \(\frac{1}{18^5} \approx 1.5080 \times 10^{-6}\)

Таким образом, \((3^2)^{-5}\) и \((3 \sqrt{2})^{-5}\) примерно равны \(1.6935 \times 10^{-6}\) и \(1.5080 \times 10^{-6}\) соответственно, приближенно округленные. Они очень близки друг к другу.