1) Показать, что mnkp - это прямоугольник, если проведены диаметры mk и np. 2) Найти углы треугольника mnp при условии

Конечно, я могу помочь вам с этими задачами! Давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы показать, что \(mnkp\) является прямоугольником, мы должны доказать, что у него противоположные стороны параллельны и равны. Мы также можем использовать факт, что проведенные диаметры \(mk\) и \(np\) перпендикулярны.

Давайте рассмотрим полученные диаграммы:

\[
\begin{array}{cccc}
& & n & \\
& & \uparrow & \\
m & \longrightarrow & k & \leftarrow p \\
\end{array}
\]

Мы можем видеть, что \(mk\) и \(np\) пересекаются в точке \(o\). Так как \(mk\) является диаметром, он проходит через центр окружности и делит ее на две равные части, аналогично, \(np\) делит окружность на две равные части. Поскольку они перпендикулярны и делят окружность на равные части, у нас уже есть основание для предложения.

Теперь нам остается доказать, что противоположные стороны параллельны и равны. К счастью, так как диаметры перпендикулярны, у нас есть две пары противоположных сторон, которые параллельны и равны: \(mk\) и \(np\), а также \(mn\) и \(kp\). Следовательно, мы можем заключить, что \(mnkp\) - это прямоугольник.

2) Теперь перейдем ко второй задаче:

а) Если угол \(mop\) равен 140 градусам, то мы можем использовать свойство угла окружности, что центральный угол, охватывающий тот же дугу, равен удвоенному углу на окружности.

\[
\angle mop = 140 \text{ градусов}
\]

Тогда угол \(mnp\), охватываемый той же дугой, будет равен:

\[
\angle mnp = 2 \cdot \angle mop = 2 \cdot 140 = 280 \text{ градусов}
\]

Используя свойство линейного угла, сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому угол \(mpn\) будет равен:

\[
\angle mpn = 180 - \angle mnp = 180 - 280 = -100 \text{ градусов}
\]

б) Если угол \(mon\) равен 80 градусам, то мы можем использовать свойство угла окружности, что центральный угол, охватывающий тот же дугу, равен удвоенному углу на окружности.

\[
\angle mon = 80 \text{ градусов}
\]

Тогда угол \(mpn\), охватываемый той же дугой, будет равен:

\[
\angle mnp = 2 \cdot \angle mon = 2 \cdot 80 = 160 \text{ градусов}
\]

Используя свойство линейного угла, сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому угол \(mpn\) будет равен:

\[
\angle mpn = 180 - \angle mnp = 180 - 160 = 20 \text{ градусов}
\]

Надеюсь, эти ответы полезны и понятны вам! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.