Как решить данное неравенство: (котангенс x/2 - 2/3 синус x) умножить на квадратный корень (4x-x^2+5) и результат равен

Для решения данного неравенства нам потребуется выполнить несколько шагов. Давайте начнем.

Шаг 1: Разложение выражения
Данное неравенство содержит два множителя: \(\cot{\frac{x}{2}} - \frac{2}{3}\sin{x}\) и \(\sqrt{4x-x^2+5}\). Разложим каждый из них и посмотрим, чему они равны.

Множитель 1: \(\cot{\frac{x}{2}} - \frac{2}{3}\sin{x}\)
Мы можем заменить тангенс и синус через соответствующие функции котангенса и косинуса:
\(\cot{\frac{x}{2}} - \frac{2}{3}\sin{x} = \frac{\cos{\frac{x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}} - \frac{2}{3}\sin{x}\).

Множитель 2: \(\sqrt{4x-x^2+5}\)
Мы можем заметить, что выражение под корнем является квадратным трехчленом. Давайте проверим, можно ли его разложить на множители:
\(4x-x^2+5 = -(x^2-4x-5) = -(x-5)(x+1)\).
Таким образом, мы можем переписать наше выражение следующим образом:
\(\sqrt{4x-x^2+5} = \sqrt{-(x-5)(x+1)}\).

Шаг 2: Анализ функций
Мы знаем, что корень из неотрицательного числа равен или больше нуля, поэтому для того, чтобы неравенство было истинным, один из наших множителей должен быть неотрицательным. Давайте рассмотрим каждый множитель отдельно и определим их интервалы неотрицательности.

Множитель 1: \(\frac{\cos{\frac{x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}} - \frac{2}{3}\sin{x}\)
Для этого множителя, необходимо, чтобы как знаменатель, так и числитель были неотрицательными. У нас есть две функции - котангенс и синус, и нам нужно знать, в каких интервалах они неотрицательны.

Функция котангенса (\(\cot{\frac{x}{2}}\)) неотрицательна в следующих интервалах:
1) \(\frac{x}{2} > 0\) (вторая и третья четверти)
2) \(\frac{x}{2} < 0\) (четвертая и первая четверти)

Функция синуса (\(\sin{x}\)) неотрицательна в следующих интервалах:
1) \(x > 0\) (первая и вторая четверти)
2) \(x < 0\) (третья и четвертая четверти)

Мы можем сделать вывод, что наш множитель 1 будет неотрицательным только при выполнении следующих условий:
1) \(\frac{x}{2} > 0\) и \(x > 0\)
2) \(\frac{x}{2} < 0\) и \(x < 0\)

Множитель 2: \(\sqrt{-(x-5)(x+1)}\)
Мы видим, что корень неотрицательного числа будет неотрицательным для любых значений под корнем. Таким образом, множитель 2 будет неотрицательным для любых значений \(x\).

Шаг 3: Составление неравенств
Теперь, когда мы знаем интервалы неотрицательности каждого множителя, мы можем составить соответствующие неравенства и определить области, удовлетворяющие условию задачи. Для удобства, введем обозначения: множитель 1 обозначим как \(A\), множитель 2 обозначим как \(B\).

Итак, возможные варианты комбинаций знаков для \(A\) и \(B\) будут следующими:

1) \(A \geq 0\) и \(B \geq 0\)
2) \(A \leq 0\) и \(B \geq 0\)
3) \(A \geq 0\) и \(B \leq 0\)
4) \(A \leq 0\) и \(B \leq 0\)

Теперь подставим каждую комбинацию и определим соответствующие интервалы \(x\), для которых выполняется неравенство.

1) \(A \geq 0\) и \(B \geq 0\):
\[\frac{\cos{\frac{x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}} - \frac{2}{3}\sin{x} \geq 0, \sqrt{-(x-5)(x+1)} \geq 0\]
Здесь мы имеем деление, поэтому нужно обратить внимание на знак знаменателя. \(\sin{\frac{x}{2}}\) не обращается в ноль, поэтому знак знаменателя никогда не меняется. Значит, для выполнения условия \(A \geq 0\), необходимо, чтобы и числитель (\(\cos{\frac{x}{2}}\)) был неотрицательным. Обратите внимание, что \(\cos{\frac{x}{2}}\) может равняться нулю при \(x = \pi + 2n\pi\) для любого целого \(n\). Таким образом, интервалы для \(x\) составят:
\(\frac{x}{2} > 0\) и \(x \neq \pi + 2n\pi\)
\(\frac{x}{2} < 0\) и \(x \neq \pi + 2n\pi\)
Аналогично, для выполнения условия \(B \geq 0\), нужно, чтобы \(x\) находился вне интервалов \(x = -1\) и \(x = 5\) (то есть, не равен -1 или 5). Таким образом, интервалы для \(x\) составят:
\(x < -1\) или \(x > 5\)

2) \(A \leq 0\) и \(B \geq 0\):
\(\frac{\cos{\frac{x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}} - \frac{2}{3}\sin{x} \leq 0\), \(\sqrt{-(x-5)(x+1)} \geq 0\)
Аналогично первому случаю, интервалы для \(x\) составят:
\(\frac{x}{2} > 0\) и \(x \neq \pi + 2n\pi\)
\(\frac{x}{2} < 0\) и \(x \neq \pi + 2n\pi\)
Так как \(B\) всегда положительно, они будут удовлетворять условию \(B \geq 0\). Интервалы для \(x\) составят:
\(x < -1\) или \(x > 5\)

3) \(A \geq 0\) и \(B \leq 0\):
\(\frac{\cos{\frac{x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}} - \frac{2}{3}\sin{x} \geq 0\), \(\sqrt{-(x-5)(x+1)} \leq 0\)
Здесь мы имеем деление, а также корень из отрицательного числа, поэтому знаки \(A\) и \(B\) не могут быть одновременно положительными или отрицательными. Таким образом, для данной комбинации знаков уравнение нерешаемо.

4) \(A \leq 0\) и \(B \leq 0\):
\(\frac{\cos{\frac{x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}} - \frac{2}{3}\sin{x} \leq 0\), \(\sqrt{-(x-5)(x+1)} \leq 0\)
Аналогично третьему случаю, знаки \(A\) и \(B\) не могут быть одновременно положительными или отрицательными. Таким образом, для данной комбинации знаков уравнение нерешаемо.

Итак, мы видим, что неравенство имеет решение только в двух случаях:
1) \(x < -1\) или \(x > 5\)
2) \(\pi + 2n\pi < x < 5\) или \(0 < x < \pi + 2n\pi\), где \(n\) - любое целое число, исключая значения \(x = \pi + 2n\pi\) и \(x = -1\).

Я надеюсь, что мой ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас есть еще вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать.