1. Подскажите все возможные значения действительных чисел a и b, при условии что квадратный трехчлен f(x)=x2+ax+b

Задача 1:
Для начала рассмотрим первое условие: f(a) = b. Заменим \(a\) и \(b\) в формуле для квадратного трехчлена:
\[f(a) = a^2 + a \cdot a + b = a^2 + a^2 + b = 2a^2 + b.\]
Поскольку мы знаем, что \(f(a) = b\), подставим это значение вместо \(b\):
\[2a^2 + b = 2a^2 + f(a).\]
Теперь рассмотрим второе условие: f(b) = a. Заменим \(a\) и \(b\) в формуле для квадратного трехчлена:
\[f(b) = b^2 + a \cdot b + b = b^2 + a \cdot b + b = b^2 + ab + b.\]
Поскольку мы знаем, что \(f(b) = a\), подставим это значение вместо \(a\):
\[b^2 + ab + b = f(b).\]
Таким образом, мы получили систему уравнений:
\[\begin{align*}
2a^2 + f(a) &= 2a^2 + b, \\
b^2 + ab + b &= f(b).
\end{align*}\]

Для решения этой системы уравнений, мы должны определить все возможные значения \(a\) и \(b\), при которых выполняются оба условия.

Задача 2:
Уравнение \(x^2 + tx + t = 0\) имеет целочисленные корни при заданных значениях \(t\) в двух случаях:
1) Когда дискриминант \(D\) равен нулю.
2) Когда один из корней является целым числом.

Для начала, найдем дискриминант уравнения:
\[D = t^2 - 4t.\]

Первый случай: \(D = 0\).
Тогда уравнение имеет один действительный корень, который будет являться целым числом. Решим уравнение для \(D = 0\):
\[t^2 - 4t = 0.\]
Вынесем общий множитель:
\[t(t - 4) = 0.\]
Решим каждый фактор отдельно:
1) \(t = 0\)
2) \(t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4\)

Таким образом, при \(t = 0\) и \(t = 4\) уравнение имеет по крайней мере один целый корень.

Второй случай: один из корней является целым числом.
Для этого случая рассмотрим дискриминант \(D\) и найдем значения \(t\), при которых \(D > 0\) и один из корней целый.

\[D = t^2 - 4t.\]
Если мы предположим, что один из корней является целым числом, то этот целый корень должен быть делителем свободного члена \(t\). Исходя из этого предположения, мы можем переписать формулу для \(D\) следующим образом:
\[D = t(t - 4).\]

Таким образом, \(D > 0\) и \(t\) является целым числом только в тех случаях, когда \(t\) равно одному из следующих значений: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

В итоге, все делимые числа \(t\) равны: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и 4.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или сложности, пожалуйста, сообщите мне. Я буду рад помочь вам.