Какая формула служит для вычисления суммы геометрической прогрессии, если каждое слагаемое умножается?

Для вычисления суммы геометрической прогрессии, где каждое слагаемое умножается на определенное число, используется формула:

\[S = a \left(\frac{{r^n - 1}}{{r - 1}}\right)\]

где:
- \(S\) обозначает сумму геометрической прогрессии,
- \(a\) - первый член этой прогрессии,
- \(r\) - множитель (число, на которое умножается каждый член прогрессии),
- \(n\) - количество членов прогрессии.

Теперь давайте разберемся, откуда взялась эта формула.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый член прогрессии получается путем умножения предыдущего члена на определенное число (множитель).

Например, рассмотрим прогрессию: 2, 4, 8, 16, 32.

В данном случае первый член \(a\) равен 2, а множитель \(r\) равен 2 (так как каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на 2).

Формула для суммы геометрической прогрессии выведена с помощью метода математической индукции и состоит из двух частей. Первая часть формулы \((r^n - 1)\) выражает разность между суммой всех членов прогрессии и последним членом прогрессии, умноженным на множитель \(r\). Вторая часть формулы \((r - 1)\) является множителем, компенсирующим умножение множителя \(r\) на каждый член прогрессии.

В итоге, умножая первый член \(a\) на выражение \(\frac{{r^n - 1}}{{r - 1}}\), мы получаем сумму геометрической прогрессии \(S\).

Например, если мы возьмем геометрическую прогрессию 2, 4, 8, 16, 32 с множителем 2 и хотим найти сумму первых 5 членов, то используем формулу:

\[S = 2 \left(\frac{{2^5 - 1}}{{2 - 1}}\right) = 2 \left(\frac{{32 - 1}}{{1}}\right) = 2 \times 31 = 62\]

Таким образом, сумма первых 5 членов данной геометрической прогрессии будет 62.