1. Перепишите координаты точек A (1; 5), B (−3; 2) и C (2; 3). Найдите: 1) координаты векторов AC и BC ; 2) модули

Хорошо, давайте поставим все шаги по порядку.

1) Координаты точек A(1; 5), B(-3; 2) и C(2; 3):

Точка A имеет координаты (1; 5).
Точка B имеет координаты (-3; 2).
Точка C имеет координаты (2; 3).

2) Координаты векторов AC и BC:

Для того чтобы найти координаты векторов, нужно отнять соответствующие координаты точек.

Вектор AC = C - A = (2 - 1; 3 - 5) = (1; -2).
Вектор BC = C - B = (2 - (-3); 3 - 2) = (5; 1).

3) Модули векторов AC и BC:

Модуль вектора можно найти используя формулу длины вектора ∥𝑎∥ = √(𝑎₁² + 𝑎₂²).

Модуль вектора AC = √(1² + (-2)²) = √(1 + 4) = √5.
Модуль вектора BC = √(5² + 1²) = √(25 + 1) = √26.

4) Координаты вектора DM = 3AC - 4BC:

Для нахождения координат вектора DM, нужно умножить каждую координату векторов AC и BC на соответствующие коэффициенты и вычесть полученные векторы.

Вектор DM = 3AC - 4BC = (3 * 1 - 4 * 5; 3 * -2 - 4 * 1) = (-17; -10).

5) Скалярное произведение векторов AC и BC:

Скалярное произведение векторов можно найти с помощью следующей формулы: 𝑎 · 𝑏 = 𝑎₁𝑏₁ + 𝑎₂𝑏₂.

Скалярное произведение векторов AC и BC = (1 * 5) + (-2 * 1) = 5 - 2 = 3.

6) Косинус угла между векторами:

Косинус угла между векторами можно найти, используя формулу: 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = (𝑎 · 𝑏) / (‖𝑎‖ * ‖𝑏‖).

Для нахождения косинуса угла между векторами AC и BC, нужно подставить значения скалярного произведения и модули векторов:

𝑐𝑜𝑠(𝜃) = (3) / (√5 * √26) = 3 / (√(5 * 26)) = 3 / (√130).

Ответ:
1) Координаты вектора AC = (1; -2) и вектора BC = (5; 1).
2) Модуль вектора AC = √5 и модуль вектора BC = √26.
3) Координаты вектора DM = (-17; -10).
4) Скалярное произведение векторов AC и BC = 3.
5) Косинус угла между векторами AC и BC = 3 / (√130).