Вариант 2 1. Шар удален от центра на расстояние √5 см. Найдите площадь поверхности и объем шара. 2. Видима хорда

1. Для решения этой задачи нам понадобится формула для площади поверхности шара \(S = 4\pi R^2\) и формула для объема шара \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\), где \(R\) - радиус шара.

1.1. Найдем радиус шара. Известно, что шар удален от центра на расстояние \(\sqrt{5}\) см. Поэтому, радиус шара будет равен \(\sqrt{5}\) см.

1.2. Теперь, используя радиус шара, мы можем найти площадь поверхности и объем шара:

Площадь поверхности шара:
\[S = 4\pi R^2 = 4\pi(\sqrt{5})^2 = 20\pi \, \text{см}^2\]

Объем шара:
\[V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi(\sqrt{5})^3 = \frac{4}{3}\pi\sqrt{125} = \frac{4}{3}\pi 5\sqrt{5} = \frac{20}{3}\pi\sqrt{5} \, \text{см}^3\]

Ответ: Площадь поверхности шара - \(20\pi \, \text{см}^2\), объем шара - \(\frac{20}{3}\pi\sqrt{5} \, \text{см}^3\).

2. Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые геометрические соотношения. Посмотрим на рисунок:

_______
/ /
/___/



Описание рисунка: В центре цилиндра находится его ось. По этой оси проведена хорда нижнего основания цилиндра, которая видна из центра под углом \(\alpha\). Отрезок между центром верхнего основания и серединой хорды создает угол \(\beta\) с плоскостью основания.

2.1. Перейдем к решению задачи. Из рисунка видно, что боковая поверхность цилиндра состоит из прямоугольного параллелепипеда и двух прямоугольных треугольников. Посчитаем площадь каждой составляющей отдельно:

Площадь прямоугольного параллелепипеда:
Длина прямоугольного параллелепипеда равна длине хорды, а высота равна высоте цилиндра. Поэтому площадь прямоугольного параллелепипеда равна \(2LH\), где \(L\) - длина хорды, \(H\) - высота цилиндра.
Так как в задаче нет данных о \(L\) и \(H\), мы не можем найти площадь прямоугольного параллелепипеда.

2.2. В задаче также нет данных о радиусе верхнего основания цилиндра. Без этой информации мы не можем найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Ответ: Для решения задачи нужны дополнительные данные - радиус верхнего основания цилиндра, длина хорды и высота цилиндра.

3. Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой для объема тела вращения \(V = \pi\int_a^b y^2 dx\), где \(y\) - функция, задающая поперечное сечение, а \(a\) и \(b\) - границы интегрирования.

3.1. Рассмотрим треугольник с катетом \(2\sqrt{3}\) см и углом 60 градусов прилегающим к нему.

3.2. Поскольку треугольник вращается вокруг второго катета, поперечное сечение будет представлять собой равнобедренный треугольник с катетами \(2\sqrt{3}\) см и \(y\) см, где \(y\) - расстояние от рассматриваемого поперечного сечения до оси вращения.

3.3. Мы знаем, что объем тела вращения равен:
\[V = \pi\int_a^b y^2 dx\]

3.4. При вращении треугольника вокруг второго катета, \(a\) будет равно 0, а \(b\) - длине второго катета, то есть \(2\sqrt{3}\) см.

3.5. Так как поперечное сечение представляет собой равнобедренный треугольник с катетами \(2\sqrt{3}\) см и \(y\) см, площадь этого поперечного сечения будет равна \(S = \frac{y}{2}(2\sqrt{3}) = y\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

3.6. Мы можем выразить \(y\) в зависимости от \(x\) следующим образом:
\[y = 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}x = 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{6}x\]

3.7. Подставим это выражение для \(y\) в формулу объема:
\[V = \pi\int_0^{2\sqrt{3}} (2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{6}x)^2 dx\]

3.8. Вычислив этот интеграл, мы найдем объем тела вращения.