1) Определите площадь области, ограниченной кривой функции y = f(x) и осями координат, где f(x) = -x^2 +4x-4

Хорошо, давайте решим задачу.

1) Для определения площади области, ограниченной кривой функции \(y = f(x)\) и осями координат, где \(f(x) = -x^2 + 4x - 4\), нам необходимо найти точки пересечения кривой с осями координат. Далее, мы будем вычислять площади отдельных фигур, образованных этой кривой.

Сначала найдем точки пересечения. Чтобы найти точку пересечения с осью OX, нам нужно решить уравнение \(y = 0\). Подставим \(0\) вместо \(y\) в уравнение \(f(x)\):

\[-x^2 + 4x - 4 = 0\]

Для решения этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = -1\), \(b = 4\) и \(c = -4\). Применим формулу дискриминанта \(D\) для нахождения корней:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = 4^2 - 4(-1)(-4)\]
\[D = 16 - 16\]
\[D = 0\]

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

\[x = \frac{-b}{2a}\]
\[x = \frac{-4}{2(-1)}\]
\[x = \frac{-4}{-2}\]
\[x = 2\]

Таким образом, точка пересечения с осью OX имеет координаты (2, 0).

Далее, чтобы найти точку пересечения с осью OY, мы должны решить уравнение \(x = 0\). Подставим \(0\) вместо \(x\) в уравнение \(f(x)\):

\[y = -0^2 + 4 \cdot 0 - 4\]
\[y = -4\]

Таким образом, точка пересечения с осью OY имеет координаты (0, -4).

Теперь мы можем вычислить площади отдельных фигур, образованных этой кривой.

Площадь области, ограниченной кривой функции \(y = f(x)\) и осью OX, можно найти с помощью интеграла:

\[S_1 = \int_{a}^{b} f(x) dx\]

где \(a\) и \(b\) - это координаты точек пересечения кривой с осью OX.

Подставим полученные значения \(a = 0\) и \(b = 2\) в формулу:

\[S_1 = \int_{0}^{2} (-x^2 + 4x - 4) dx\]

Теперь вычислим этот интеграл:

\[S_1 = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 4x\right]_{0}^{2}\]
\[S_1 = \left(-\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0\right)\]
\[S_1 = \left(-\frac{8}{3} + 8 - 8\right) - \left(0 + 0 - 0\right)\]
\[S_1 = \left(-\frac{8}{3}\right) - 0\]
\[S_1 = -\frac{8}{3}\]

Таким образом, площадь области, ограниченной кривой функции \(y = f(x)\) и осью OX, равна \(-\frac{8}{3}\).

2) Для расчета площади фигуры, ограниченной графиком функции \(y = f(x)\) и осями координат, где \(f(x) = -x^2\), мы будем использовать аналогичный метод.

Сначала найдем точки пересечения. Уравнение \(f(x) = -x^2 = 0\) имеет один корень при \(x = 0\). Таким образом, точка пересечения с осью OX имеет координаты (0, 0).

Далее, чтобы найти площадь фигуры, мы должны вычислить интеграл от \(f(x)\) на промежутке между точками пересечения с осью OX:

\[S_2 = \int_{a}^{b} f(x) dx\]

где \(a\) и \(b\) - это координаты точек пересечения кривой с осью OX.

Подставим значение \(a = 0\) в формулу:

\[S_2 = \int_{0}^{0} (-x^2) dx\]

Заметим, что это интеграл нулевой функции в пределах от 0 до 0, то есть площадь будет равна 0.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = f(x)\) и осями координат, где \(f(x) = -x^2\), равна 0.

Я надеюсь, что это понятно и полезно для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я буду рад помочь вам!