1) Определите область значений функции y=f(x) при условии f(x)=x^3-9x+40. 2) Определите область определения функции

Конечно! Давайте решим задачу.

1) Для определения области значений функции необходимо найти все возможные значения \(y\) при заданных значениях \(x\). Для этого нам нужно выяснить, как функция \(f(x) = x^3 - 9x + 40\) меняется при изменении значения \(x\).

Для начала, мы можем построить график функции \(y = f(x)\), чтобы наглядно увидеть ее поведение. Давайте сделаем это:

\[
\begin{align*}
x & : -\infty & & & & +\infty \\
f(x) & : & & -\infty & & +\infty \\
\end{align*}
\]

Затем, мы можем найти экстремумы функции. Для этого нужно найти точки, где производная функции равна нулю. Давайте найдем производную функции \(f"(x)\):

\[
\begin{align*}
f"(x) & = \frac{d}{dx}(x^3 - 9x + 40) \\
& = 3x^2 - 9
\end{align*}
\]

Приравниваем производную к нулю:

\[
3x^2 - 9 = 0
\]

Решаем уравнение для \(x\) и находим значения, при которых производная равна нулю:

\[
\begin{align*}
3x^2 - 9 &= 0 \\
3x^2 &= 9 \\
x^2 &= 3 \\
x &= \pm\sqrt{3}
\end{align*}
\]

Теперь мы можем построить таблицу знаков для производной функции:

\[
\begin{align*}
x & : -\infty & & -\sqrt{3} & & +\sqrt{3} & & +\infty \\
f"(x) & : & + & 0 & - & 0 & + \\
\end{align*}
\]

Исходя из таблицы знаков, видно, что функция убывает на интервале \((-\infty, -\sqrt{3})\) и возрастает на интервале \((\sqrt{3}, +\infty)\).

Теперь осталось понять, какое значение \(y\) может принимать, когда \(x\) находится вне этих интервалов. Мы знаем, что функция \(y = f(x)\) непрерывна, поэтому она будет принимать все значения между экстремумами на этих интервалах.

Таким образом, область значений функции \(y = f(x)\) будет \(y \in (-\infty, f(-\sqrt{3})) \cup (f(-\sqrt{3}), f(\sqrt{3})) \cup (f(\sqrt{3}), +\infty)\).

2) Для определения области определения функции необходимо найти все возможные значения \(x\), для которых функция определена. В данном случае, у нас есть функция \(f(x) = \frac{x-8}{10-x}\).

Очевидно, что функция не определена, когда знаменатель равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Решим уравнение:

\[
10 - x = 0
\]

И находим \(x\):

\[
x = 10
\]

Таким образом, функция не определена при \(x = 10\). Также нужно учесть, что функция непрерывна, поэтому для всех остальных значений \(x\) функция определена.

Итак, область определения функции \(y = f(x)\) будет \((- \infty, 10) \cup (10, + \infty)\).