1. Определите интервалы, на которых функция возрастает и убывает: А) Найдите интервалы, на которых функция

Чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает и убывает, нам необходимо проанализировать производную функции. Если производная положительна на определенном интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция убывает на данном интервале. Посмотрим, как это работает на примере задачи.

А) Найдем производную данной функции:
\[y = x^3 - 8x^2 + 360\]
Для этого применим правило дифференцирования степенной функции: правило некратной степени.

\[y" = 3x^2 - 16x\]

Теперь мы можем проанализировать знак производной функции \(y"\), чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции.

1. Определение интервалов возрастания:
Так как функция возрастает на интервалах, где производная положительна, найдем значения x, для которых \(y" > 0\).

\[3x^2 - 16x > 0\]

Факторизуем это неравенство:

\[x(3x - 16) > 0\]

Таким образом, получаем два условия:

1) \(x > 0\)
2) \(3x - 16 > 0\)

Решив каждое из условий получим интервалы возрастания функции.
1) Из первого условия имеем, что x принадлежит положительным числам. (0, +∞)
2) Из второго условия получаем \(x > \frac{16}{3}\). Это дополняет первый интервал возрастания:

Итак, интервалы возрастания функции: \(x > 0\).

2. Определение интервалов убывания:
Так как функция убывает на интервалах, где производная отрицательна, найдем значения x, для которых \(y" < 0\).

\[3x^2 - 16x < 0\]

Факторизуем это неравенство:

\[x(3x - 16) < 0\]

Таким образом, получаем два условия:

1) \(x < 0\)
2) \(3x - 16 < 0\)

Решив каждое из условий, получаем интервалы убывания функции:
1) Из первого условия получаем, что x принадлежит отрицательным числам: (-∞, 0)
2) Из второго условия следует, что \(x < \frac{16}{3}\).

Итак, интервалы убывания функции: \(x < \frac{16}{3}\).

Б) Теперь, чтобы определить интервалы возрастания и убывания самой функции \(y = x^3 - 8x^2 + 360\), мы учитываем интервалы возрастания и убывания производной функции \(y"\).

Из анализа производной мы знаем, что интервалы возрастания функции \(y\) будут совпадать с интервалами возрастания функции \(y"\). Аналогично, интервалы убывания функции \(y\) будут совпадать с интервалами убывания функции \(y"\).

Итак, интервалы возрастания функции \(y = x^3 - 8x^2 + 360\) равны: \(x > 0\).

Интервалы убывания функции \(y = x^3 - 8x^2 + 360\) равны: \(x < \frac{16}{3}\).

Следует отметить, что вместо неравенств вы можете использовать интервальную нотацию: \((0, +\infty)\) и \((-\infty, \frac{16}{3})\) соответственно.