1. Определить область определения функции y=(9x)/(9+x^2). (При необходимости, записать бесконечность как

1. Для определения области определения функции y=(9x)/(9+x^2) нужно найти все значения x, при которых функция имеет смысл. В данном случае, функция не имеет смысла когда знаменатель равен нулю, то есть 9 + x^2 = 0. Решим это уравнение:

x^2 = -9

Уравнение не имеет действительных корней, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, область определения функции - это все действительные числа, т.е. D(f) = (-\infty; +\infty).

2. Построим график функции y=(9x)/(9+x^2), чтобы визуализировать ее поведение.

\[graph\]

3. Для определения горизонтальной асимптоты графика функции y=(9x)/(9+x^2) необходимо проанализировать ее поведение при стремлении x к плюс или минус бесконечности. Если функция стремится к постоянному значению при x -> +/- \infty, то это значение является горизонтальной асимптотой.

При стремлении x к плюс или минус бесконечности, знаменатель функции становится существенно больше числителя. Поэтому функция приближается к нулю при x -> +/- \infty. Таким образом, горизонтальная асимптота графика функции y=(9x)/(9+x^2) равна y=0.

4. Для вычисления производной данной функции y=(9x)/(9+x^2) воспользуемся правилом дифференцирования частного функций (f/g)" = (f"g - fg") / g^2.

\[ y" = \frac{(9+x^2)(9) - (9x)(2x)}{(9+x^2)^2} = \frac{9(9+x^2) - 18x^2}{(9+x^2)^2} = \frac{81+9x^2 - 18x^2}{(9+x^2)^2} = \frac{81-x^2}{(9+x^2)^2} \]

5. Чтобы найти стационарные точки, нужно решить уравнение y" = 0:

\[ 0 = \frac{81-x^2}{(9+x^2)^2} \]

Убираем знаменатель:

\[ 81 - x^2 = 0 \]

\[ x^2 = 81 \]

\[ x_1 = 9, x_2 = -9 \]

Таким образом, стационарными точками функции являются x = 9 и x = -9.

6. Чтобы найти точки экстремума, нужно проанализировать производную. Стационарные точки (x = 9 и x = -9) являются кандидатами на точки экстремума.

Для анализа знака производной, составим таблицу знаков:

\[ \begin{array}\\
x & -\infty & -9 & 9 & +\infty \\
y" = \frac{81-x^2}{(9+x^2)^2} & - & 0 & 0 & + \\
\end{array} \\ \]

Из таблицы видно, что производная меняет знак с отрицательного на положительный при x = -9, и с положительного на отрицательный при x = 9. Следовательно, в точке x = -9 имеется локальный максимум, а в точке x = 9 имеется локальный минимум.

7. Для определения промежутков монотонности функции нужно проанализировать знак производной на каждом интервале между стационарными точками и на бесконечностях.

На интервале (-\infty, -9) производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

На интервале (-9, 9) производная положительна, следовательно, функция возрастает.

На интервале (9, +\infty) производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Таким образом, функция y=(9x)/(9+x^2) убывает на интервале (-\infty, -9) и (9, +\infty), и возрастает на интервале (-9, 9).