1. Найти значение функции f(x) = 4x–1 при x = -3 и найти корни функции. 2. Построить график функции y = (x – 3)2 –

Конечно, я помогу вам с решением задач! Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Найдем значение функции \(f(x) = 4x - 1\) при \(x = -3\):
Подставим \(x = -3\) в исходную формулу:
\[f(-3) = 4 \cdot (-3) - 1 = -12 - 1 = -13\]
Таким образом, \(f(-3) = -13\).

Теперь найдем корни функции \(f(x)\). Для этого решим уравнение \(f(x) = 0\):
\[4x - 1 = 0\]
Добавим 1 к обеим сторонам:
\[4x = 1\]
Разделим обе стороны на 4:
\[x = \frac{1}{4}\]
Таким образом, корень функции \(f(x)\) равен \(x = \frac{1}{4}\).

2. Построим график функции \(y = (x - 3)^2 - 2\):
Для построения графика определим некоторые ключевые точки:
- Когда \(x = 3\), мы имеем \(y = (3 - 3)^2 - 2 = -2\). Таким образом, точка (3, -2) лежит на графике.
- Когда \(x = 0\), мы имеем \(y = (0 - 3)^2 - 2 = 7\). Таким образом, точка (0, 7) лежит на графике.

Теперь построим график, используя найденные точки и зная, что функция является параболой с вершиной в точке (3, -2). Выглядеть график будет следующим образом:

\[
\begin{{array}}{{ccc}}
\hline
x & y \\
\hline
- \infty & + \infty \\
\hline
3 & -2 \\
\hline
\hline
0 & 7 \\
\hline
+ \infty & + \infty \\
\hline
\end{{array}}
\]

Интервалы возрастания функции находятся слева и справа от вершины параболы. Так как вершина находится в точке (3, -2), то интервал возрастания функции находится в отрезке \((-\infty, 3)\).

Интервалы убывания функции находятся до и после вершины параболы. Интервал убывания функции находится в отрезке \((3, +\infty)\).

3. Решим уравнения:

а) \(3x^2 - x^3 = 0\):
Факторизуем это уравнение:
\[x^2(3 - x) = 0\]
Таким образом, \(x^2 = 0\) или \(3 - x = 0\).

Из первого уравнения получаем, что \(x = 0\).

Из второго уравнения получаем, что \(x = 3\).

Таким образом, решениями уравнения \(3x^2 - x^3 = 0\) являются \(x = 0\) и \(x = 3\).

б) \(x^4 - 7x^2 + 12 = 0\):
Факторизуем это уравнение:
\((x^2 - 3)(x^2 - 4) = 0\)
Таким образом, \(x^2 - 3 = 0\) или \(x^2 - 4 = 0\).

Из первого уравнения получаем, что \(x^2 = 3\). Извлекая квадратный корень, получаем два решения: \(x = \sqrt{3}\) и \(x = -\sqrt{3}\).

Из второго уравнения получаем, что \(x^2 = 4\). Извлекая квадратный корень, получаем два решения: \(x = 2\) и \(x = -2\).

Таким образом, решениями уравнения \(x^4 - 7x^2 + 12 = 0\) являются \(x = \sqrt{3}\), \(x = -\sqrt{3}\), \(x = 2\) и \(x = -2\).

4. Решим неравенство:

а) \((x + 2)(x - 1)(x - 4) > 0\):
Разбиваем на интервалы, где множители положительны или отрицательны:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\hline
(x + 2)(x - 1)(x - 4) & < 0 & > 0 & < 0 \\
\hline
x < -2 & -2 < x < 1 & 1 < x < 4 & x > 4 \\
\hline
\end{{array}}
\]

Таким образом, решением неравенства \((x + 2)(x - 1)(x - 4) > 0\) является \(x \in (-2, 1) \cup (4, +\infty)\).

б) \(x^2 - 14x + 24 \leq 0\):
Решим это неравенство, разложив на множители:

\[x^2 - 14x + 24 = (x - 2)(x - 12) \leq 0\]

Рассмотрим знаки выражения \((x - 2)(x - 12)\) на каждом интервале:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\hline
(x - 2)(x - 12) & > 0 & < 0 & > 0 \\
\hline
x < 2 & 2 < x < 12 & x > 12 \\
\hline
\end{{array}}
\]

Таким образом, решением неравенства \(x^2 - 14x + 24 \leq 0\) является \(x \in [2, 12]\).

Я надеюсь, что эти подробные решения помогли вам понять и выполнить данные задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!