1. Найти вектор ЕF, если даны точки Е(-4, -2) и F(3, -5). 2. Вычислить длину вектора С, если его координаты равны

Конечно! Разберем по порядку каждую задачу:

1. Чтобы найти вектор ЕF, нужно вычислить разность координат конечной точки F и начальной точки E. В данном случае:
\[
\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} x_F - x_E \\ y_F - y_E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - (-4) \\ -5 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix}
\]

2. Длина вектора C вычисляется по формуле:
\[
\|\overrightarrow{C}\| = \sqrt{(x_C)^2 + (y_C)^2}
\]
Подставляя значения координат из условия:
\[
\|\overrightarrow{C}\| = \sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}
\]

3. Чтобы найти середину отрезка ЕН, нужно взять половину разности координат начальной точки Е и конечной точки Н, и прибавить это к начальной точке:
\[
\text{Координаты точки O} = \left(\frac{x_E + x_H}{2}, \frac{y_E + y_H}{2}\right) = \left(\frac{-4 + 6}{2}, \frac{-2 + (-1)}{2}\right) = \left(1, -\frac{3}{2}\right)
\]

4. Расстояние между двумя точками E и F вычисляется с помощью формулы расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:
\[
d = \sqrt{(x_F - x_E)^2 + (y_F - y_E)^2}
\]
Вставляя значения координат из условия:
\[
d = \sqrt{(2 - 5)^2 + (-6 - (-4))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
\]

5. Для нахождения медианы CD нужно сначала найти координаты точки D, являющейся серединой отрезка AB. Затем, по формуле для нахождения середины отрезка, найдем координаты точки D:
\[
\text{Координаты точки D} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{2 + (-6)}{2}\right) = \left(2, -2\right)
\]
Теперь, чтобы найти медиану CD, нужно вычислить разность координат вершин треугольника C и D и удвоить этот вектор:
\[
\overrightarrow{CD} = 2 \times \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix} = 2 \times \begin{pmatrix} 2 - 6 \\ -2 - 4 \end{pmatrix} = 2 \times \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -12 \end{pmatrix}
\]

6. Окружности задаются уравнениями вида \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \), где (a,b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности. Построим окружности одну за другой:
- Уравнение первой окружности: \(x^2 + y^2 = 16\).
- Уравнение второй окружности: \((x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 4\).

7. Уравнение окружности задаётся формулой вида \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). Теперь рассмотрим две ситуации:
- Окружность с центром в начале координат и радиусом \(2\sqrt{3}\):
\((x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (2\sqrt{3})^2\) или \(x^2 + y^2 = 12\).
- Окружность с центром в точке (2, -3) и радиусом \(r = \sqrt{\text{радиус}}\):
\((x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = r^2\).