1. Найти угловой коэффициент и отрезок, образуемый прямой l: 12x+3y-1=0 на оси ординат.
2. Найти точку, симметричную точке а (-1; 4) относительно прямой l: -x+2y+4=0.
3. Определить взаимное расположение прямой 8x+3y-15=0 и параболы x^2=-3y.
4. Написать уравнение эллипса в канонической форме, проходящего через точку м (2; 3) и имеющего большую полуось a=4.
5. Для гиперболы x^2-4y^2=16 найти: 1) действительную и мнимую полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет.
2. Найти точку, симметричную точке а (-1; 4) относительно прямой l: -x+2y+4=0.
3. Определить взаимное расположение прямой 8x+3y-15=0 и параболы x^2=-3y.
4. Написать уравнение эллипса в канонической форме, проходящего через точку м (2; 3) и имеющего большую полуось a=4.
5. Для гиперболы x^2-4y^2=16 найти: 1) действительную и мнимую полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет.
Витальевна
Хорошо, я помогу вам с каждой задачей.
1. Чтобы найти угловой коэффициент и отрезок, образуемый прямой \(l: 12x+3y-1=0\) на оси ординат, нам нужно привести уравнение прямой к виду \(y = mx + c\), где \(m\) - угловой коэффициент, а \(c\) - отрезок на оси ординат.
Для этого выразим \(y\) из уравнения прямой:
\[12x + 3y - 1 = 0\]
\[3y = -12x + 1\]
\[y = -4x + \frac{1}{3}\]
Таким образом, угловой коэффициент \(m\) равен -4, а отрезок \(c\) на оси ординат равен \(\frac{1}{3}\).
2. Чтобы найти точку, симметричную точке \(A(-1; 4)\) относительно прямой \(l: -x+2y+4=0\), мы можем использовать формулы для нахождения симметричной точки.
Формулы для нахождения симметричной точки:
\[x" = \frac{{2md^2 - x}}{{m^2 + 1}}\]
\[y" = \frac{{m(x - x") + y}}{{m^2 + 1}}\]
Где \(m\) - угловой коэффициент прямой \(l\), а \(d\) - расстояние от исходной точки до прямой.
Используя уравнение прямой \(l: -x+2y+4=0\), найдем угловой коэффициент \(m\):
\[-x + 2y + 4 = 0\]
\[2y = x - 4\]
\[y = \frac{{x - 4}}{2}\]
Таким образом, угловой коэффициент \(m\) равен \(\frac{1}{2}\).
Теперь найдем расстояние \(d\) от точки \(A(-1; 4)\) до прямой \(l\):
\[d = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{A^2 + B^2}}}\]
\[d = \frac{{|-1 + 2(4) + 4|}}{{\sqrt{(-1)^2 + 2^2}}}\]
\[d = \frac{{|7|}}{{\sqrt{5}}}\]
\[d = \frac{{7}}{{\sqrt{5}}}\]
Теперь можем подставить все значения в формулы для нахождения симметричной точки:
\[x" = \frac{{2(\frac{1}{2})(\frac{{49}}{{5}}) - (-1)}}{{(\frac{1}{2})^2 + 1}}\]
\[x" = \frac{{\frac{{49}}{{5}} + 1}}{{\frac{5}{4} + 1}}\]
\[x" = \frac{{\frac{{54}}{{5}}}}{{\frac{9}{4}}}\]
\[x" = \frac{{54}}{{5}} \cdot \frac{4}{9}\]
\[x" = \frac{{216}}{{45}}\]
\[x" = \frac{{72}}{{15}}\]
\[x" = \frac{{24}}{{5}}\]
\[y" = \frac{{\frac{1}{2}(x - x") + y}}{{(\frac{1}{2})^2 + 1}}\]
\[y" = \frac{{\frac{1}{2}(\frac{24}{5} + 1) + 4}}{{\frac{5}{4} + 1}}\]
\[y" = \frac{{\frac{1}{2}(\frac{29}{5}) + 4}}{{\frac{5}{4} + 1}}\]
\[y" = \frac{{\frac{29}{10} + 4}}{{\frac{9}{4}}}\]
\[y" = \frac{{\frac{29}{10} + \frac{40}{10}}}{{\frac{9}{4}}}\]
\[y" = \frac{{\frac{69}{10}}}{{\frac{9}{4}}}\]
\[y" = \frac{{69}}{{10}} \cdot \frac{4}{9}\]
\[y" = \frac{{276}}{{90}}\]
\[y" = \frac{{92}}{{30}}\]
\[y" = \frac{{46}}{{15}}\]
Таким образом, точка, симметричная точке \(A(-1; 4)\) относительно прямой \(l: -x+2y+4=0\), имеет координаты \(x" = \frac{{24}}{{5}}\) и \(y" = \frac{{46}}{{15}}\).
3. Для определения взаимного расположения прямой \(8x+3y-15=0\) и параболы \(x^2=-3y\), нужно сравнить их уравнения и посмотреть, имеют ли они общие точки.
Уравнение параболы можно привести к виду \(y = f(x)\), где \(f(x) = -\frac{{x^2}}{3}\).
Теперь сравним уравнения:
\(8x+3y-15=0\) и \(y = -\frac{{x^2}}{3}\).
Для определения взаимного расположения прямой и параболы, найдем их общие точки.
Подставим уравнение параболы в уравнение прямой:
\(8x+3(-\frac{{x^2}}{3})-15=0\)
\(8x-x^2-15=0\).
Полученное уравнение является квадратным уравнением. Решим его для определения общих точек прямой и параболы.
\(x^2-8x+15=0\).
Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации:
\((x-3)(x-5)=0\).
Таким образом, получаем две точки пересечения: \(x_1=3\) и \(x_2=5\).
Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в уравнение параболы, чтобы найти соответствующие значения \(y_1\) и \(y_2\).
Для \(x_1=3\):
\(y_1 = -\frac{{x_1^2}}{3} = -\frac{{3^2}}{3} = -3\).
Для \(x_2=5\):
\(y_2 = -\frac{{x_2^2}}{3} = -\frac{{5^2}}{3} = -\frac{{25}}{3}\).
Таким образом, общие точки прямой \(8x+3y-15=0\) и параболы \(x^2=-3y\) имеют координаты: \((3, -3)\) и \((5, -\frac{{25}}{3})\).
4. Чтобы найти уравнение эллипса в канонической форме, проходящего через точку \(M(2; 3)\) и имеющего большую полуось \(a=4\), мы можем использовать следующую формулу эллипса:
\[\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1\],
где \(h\) и \(k\) - координаты центра эллипса.
Заметим, что центр эллипса находится в точке \(M(2;3)\), поэтому \(h=2\) и \(k=3\).
Дано, что большая полуось равна \(a=4\).
Теперь подставим значения \(h\), \(k\) и \(a\) в уравнение эллипса:
\[\frac{{(x-2)^2}}{{4^2}} + \frac{{(y-3)^2}}{{b^2}} = 1\].
Таким образом, уравнение эллипса в канонической форме, проходящего через точку \(M(2; 3)\) и имеющего большую полуось \(a=4\), выглядит следующим образом:
\[\frac{{(x-2)^2}}{{16}} + \frac{{(y-3)^2}}{{b^2}} = 1\].
5. Для гиперболы \(x^2-4y^2=16\) нам нужно найти следующие значения:
1) Действительные и мнимые полуоси. Для этого нам нужно найти корни квадратного уравнения \(a^2 - b^2 = 16\), где \(a\) - действительная полуось, а \(b\) - мнимая полуось.
Получаем \(a^2 - 4b^2 = 16\). Это каноническое уравнение гиперболы.
2) Координаты фокусов. Для этого нам нужно найти значения \(c\), где \(c\) - расстояние от центра гиперболы до фокусов.
3) Эксцентриситет (е). Эксцентриситет гиперболы выражается как \(e = \frac{c}{a}\).
Решим каждую часть по порядку:
1) Действительные и мнимые полуоси. Найдем корни квадратного уравнения \(a^2 - 4b^2 = 16\).
\(a^2 = 16 + 4b^2\).
2) Координаты фокусов. Координаты фокусов гиперболы могут быть найдены с использованием формулы \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - расстояние от центра гиперболы до фокусов.
\[c^2 = a^2 + b^2\]
3) Эксцентриситет гиперболы \(e\) может быть найден с использованием формулы \(e = \frac{c}{a}\).
\[e = \frac{c}{a}\]
1. Чтобы найти угловой коэффициент и отрезок, образуемый прямой \(l: 12x+3y-1=0\) на оси ординат, нам нужно привести уравнение прямой к виду \(y = mx + c\), где \(m\) - угловой коэффициент, а \(c\) - отрезок на оси ординат.
Для этого выразим \(y\) из уравнения прямой:
\[12x + 3y - 1 = 0\]
\[3y = -12x + 1\]
\[y = -4x + \frac{1}{3}\]
Таким образом, угловой коэффициент \(m\) равен -4, а отрезок \(c\) на оси ординат равен \(\frac{1}{3}\).
2. Чтобы найти точку, симметричную точке \(A(-1; 4)\) относительно прямой \(l: -x+2y+4=0\), мы можем использовать формулы для нахождения симметричной точки.
Формулы для нахождения симметричной точки:
\[x" = \frac{{2md^2 - x}}{{m^2 + 1}}\]
\[y" = \frac{{m(x - x") + y}}{{m^2 + 1}}\]
Где \(m\) - угловой коэффициент прямой \(l\), а \(d\) - расстояние от исходной точки до прямой.
Используя уравнение прямой \(l: -x+2y+4=0\), найдем угловой коэффициент \(m\):
\[-x + 2y + 4 = 0\]
\[2y = x - 4\]
\[y = \frac{{x - 4}}{2}\]
Таким образом, угловой коэффициент \(m\) равен \(\frac{1}{2}\).
Теперь найдем расстояние \(d\) от точки \(A(-1; 4)\) до прямой \(l\):
\[d = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{A^2 + B^2}}}\]
\[d = \frac{{|-1 + 2(4) + 4|}}{{\sqrt{(-1)^2 + 2^2}}}\]
\[d = \frac{{|7|}}{{\sqrt{5}}}\]
\[d = \frac{{7}}{{\sqrt{5}}}\]
Теперь можем подставить все значения в формулы для нахождения симметричной точки:
\[x" = \frac{{2(\frac{1}{2})(\frac{{49}}{{5}}) - (-1)}}{{(\frac{1}{2})^2 + 1}}\]
\[x" = \frac{{\frac{{49}}{{5}} + 1}}{{\frac{5}{4} + 1}}\]
\[x" = \frac{{\frac{{54}}{{5}}}}{{\frac{9}{4}}}\]
\[x" = \frac{{54}}{{5}} \cdot \frac{4}{9}\]
\[x" = \frac{{216}}{{45}}\]
\[x" = \frac{{72}}{{15}}\]
\[x" = \frac{{24}}{{5}}\]
\[y" = \frac{{\frac{1}{2}(x - x") + y}}{{(\frac{1}{2})^2 + 1}}\]
\[y" = \frac{{\frac{1}{2}(\frac{24}{5} + 1) + 4}}{{\frac{5}{4} + 1}}\]
\[y" = \frac{{\frac{1}{2}(\frac{29}{5}) + 4}}{{\frac{5}{4} + 1}}\]
\[y" = \frac{{\frac{29}{10} + 4}}{{\frac{9}{4}}}\]
\[y" = \frac{{\frac{29}{10} + \frac{40}{10}}}{{\frac{9}{4}}}\]
\[y" = \frac{{\frac{69}{10}}}{{\frac{9}{4}}}\]
\[y" = \frac{{69}}{{10}} \cdot \frac{4}{9}\]
\[y" = \frac{{276}}{{90}}\]
\[y" = \frac{{92}}{{30}}\]
\[y" = \frac{{46}}{{15}}\]
Таким образом, точка, симметричная точке \(A(-1; 4)\) относительно прямой \(l: -x+2y+4=0\), имеет координаты \(x" = \frac{{24}}{{5}}\) и \(y" = \frac{{46}}{{15}}\).
3. Для определения взаимного расположения прямой \(8x+3y-15=0\) и параболы \(x^2=-3y\), нужно сравнить их уравнения и посмотреть, имеют ли они общие точки.
Уравнение параболы можно привести к виду \(y = f(x)\), где \(f(x) = -\frac{{x^2}}{3}\).
Теперь сравним уравнения:
\(8x+3y-15=0\) и \(y = -\frac{{x^2}}{3}\).
Для определения взаимного расположения прямой и параболы, найдем их общие точки.
Подставим уравнение параболы в уравнение прямой:
\(8x+3(-\frac{{x^2}}{3})-15=0\)
\(8x-x^2-15=0\).
Полученное уравнение является квадратным уравнением. Решим его для определения общих точек прямой и параболы.
\(x^2-8x+15=0\).
Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации:
\((x-3)(x-5)=0\).
Таким образом, получаем две точки пересечения: \(x_1=3\) и \(x_2=5\).
Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в уравнение параболы, чтобы найти соответствующие значения \(y_1\) и \(y_2\).
Для \(x_1=3\):
\(y_1 = -\frac{{x_1^2}}{3} = -\frac{{3^2}}{3} = -3\).
Для \(x_2=5\):
\(y_2 = -\frac{{x_2^2}}{3} = -\frac{{5^2}}{3} = -\frac{{25}}{3}\).
Таким образом, общие точки прямой \(8x+3y-15=0\) и параболы \(x^2=-3y\) имеют координаты: \((3, -3)\) и \((5, -\frac{{25}}{3})\).
4. Чтобы найти уравнение эллипса в канонической форме, проходящего через точку \(M(2; 3)\) и имеющего большую полуось \(a=4\), мы можем использовать следующую формулу эллипса:
\[\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1\],
где \(h\) и \(k\) - координаты центра эллипса.
Заметим, что центр эллипса находится в точке \(M(2;3)\), поэтому \(h=2\) и \(k=3\).
Дано, что большая полуось равна \(a=4\).
Теперь подставим значения \(h\), \(k\) и \(a\) в уравнение эллипса:
\[\frac{{(x-2)^2}}{{4^2}} + \frac{{(y-3)^2}}{{b^2}} = 1\].
Таким образом, уравнение эллипса в канонической форме, проходящего через точку \(M(2; 3)\) и имеющего большую полуось \(a=4\), выглядит следующим образом:
\[\frac{{(x-2)^2}}{{16}} + \frac{{(y-3)^2}}{{b^2}} = 1\].
5. Для гиперболы \(x^2-4y^2=16\) нам нужно найти следующие значения:
1) Действительные и мнимые полуоси. Для этого нам нужно найти корни квадратного уравнения \(a^2 - b^2 = 16\), где \(a\) - действительная полуось, а \(b\) - мнимая полуось.
Получаем \(a^2 - 4b^2 = 16\). Это каноническое уравнение гиперболы.
2) Координаты фокусов. Для этого нам нужно найти значения \(c\), где \(c\) - расстояние от центра гиперболы до фокусов.
3) Эксцентриситет (е). Эксцентриситет гиперболы выражается как \(e = \frac{c}{a}\).
Решим каждую часть по порядку:
1) Действительные и мнимые полуоси. Найдем корни квадратного уравнения \(a^2 - 4b^2 = 16\).
\(a^2 = 16 + 4b^2\).
2) Координаты фокусов. Координаты фокусов гиперболы могут быть найдены с использованием формулы \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - расстояние от центра гиперболы до фокусов.
\[c^2 = a^2 + b^2\]
3) Эксцентриситет гиперболы \(e\) может быть найден с использованием формулы \(e = \frac{c}{a}\).
\[e = \frac{c}{a}\]
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
