Каковы вероятности событий a = {из 6 отобранных делегатов все юноши}, b = {из 6 отобранных делегатов поровну юноши

Для решения данной задачи нам необходимо знать общее количество юношей и девушек в группе, из которой будут отбираться делегаты. Пусть в общей группе имеется m юношей и n девушек.

а) Вероятность того, что все 6 выбранных делегатов будут юношами, можно вычислить следующим образом:

Первого делегата нужно выбрать из мужской части группы, что даёт вероятность выбора юноши равной \(\frac{m}{m+n}\).
Второго делегата нужно выбрать из оставшейся мужской части группы, что даёт вероятность выбора юноши равной \(\frac{m-1}{m+n-1}\).
Аналогично, вероятность выбора третьего, четвёртого, пятого и шестого юношей будет равна \(\frac{m-2}{m+n-2}\), \(\frac{m-3}{m+n-3}\), \(\frac{m-4}{m+n-4}\) и \(\frac{m-5}{m+n-5}\) соответственно.

Тогда общая вероятность события \(а\) будет равна произведению всех этих вероятностей, так как события независимы:
\[P(a) = \frac{m}{m+n} \cdot \frac{m-1}{m+n-1} \cdot \frac{m-2}{m+n-2} \cdot \frac{m-3}{m+n-3} \cdot \frac{m-4}{m+n-4} \cdot \frac{m-5}{m+n-5}\]

b) Вероятность того, что из 6 отобранных делегатов будет поровну юноши и девушки можно вычислить следующим образом:

Мы можем выбрать 3 юношей и 3 девушек в таком порядке: юношей-юношек-юношек-девушек-девушек-девушек, или любым другим удвовлетворяющим условию способом.

Первого юношу можно выбрать из мужской части группы, что даёт вероятность выбора юноши равной \(\frac{m}{m+n}\).
Второго юношу нужно выбрать из оставшейся мужской части группы, что даёт вероятность выбора юноши равной \(\frac{m-1}{m+n-1}\).
Аналогично, вероятность выбора третьего юноши будет равна \(\frac{m-2}{m+n-2}\).

Далее мы должны выбрать 3 девушки.
Первую девушку нужно выбрать из женской части группы, что даёт вероятность выбора девушки равной \(\frac{n}{m+n}\).
Вторую девушку нужно выбрать из оставшейся женской части группы, что даёт вероятность выбора девушки равной \(\frac{n-1}{m+n-1}\).
Аналогично, вероятность выбора третьей девушки будет равна \(\frac{n-2}{m+n-2}\).

Общая вероятность события \(b\) будет равна произведению всех этих вероятностей, так как события независимы:
\[P(b) = \frac{m}{m+n} \cdot \frac{m-1}{m+n-1} \cdot \frac{m-2}{m+n-2} \cdot \frac{n}{m+n-3} \cdot \frac{n-1}{m+n-4} \cdot \frac{n-2}{m+n-5}\]

c) Вероятность того, что среди 6 отобранных делегатов девушки составляют большинство можно найти следующим образом:

Можем выбрать 4 девушек и 2 юношей, или 5 девушек и 1 юношу, или все 6 делегатов будут девушками.

Количество способов выбрать 4 девушки и 2 юношей из мужской и женской частей группы можно вычислить по формуле сочетаний:
\[{C(n,4)} \cdot {C(m,2)} + {C(n,5)} \cdot {C(m,1)} + {C(n,6)} \cdot {C(m,0)}\]

где \(C(n,k)\) - число сочетаний, выборка \(k\) элементов из набора из \(n\) элементов.

Тогда общая вероятность события \(c\) будет равна отношению числа способов выбрать делегатов соответствующим образом к общему числу способов выбрать 6 делегатов:
\[P(c) = \frac{{C(n,4)} \cdot {C(m,2)} + {C(n,5)} \cdot {C(m,1)} + {C(n,6)} \cdot {C(m,0)}}{{C(m+n,6)}}\]

d) Вероятность того, что среди 6 отобранных делегатов будет хотя бы один юноша можно найти следующим образом:

Обратная вероятность, когда нет ни одного юноши среди 6 отобранных делегатов, равна вероятности выбрать все 6 делегатов из женской части группы:
\[P(d) = 1 - \frac{n}{m+n} \cdot \frac{n-1}{m+n-1} \cdot \frac{n-2}{m+n-2} \cdot \frac{n-3}{m+n-3} \cdot \frac{n-4}{m+n-4} \cdot \frac{n-5}{m+n-5}\]

Таким образом, ответ на задачу будет представлять собой формулы для вероятностей каждого из событий \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), где \(m\) и \(n\) - количества юношей и девушек в группе соответственно.