1. Найти общий периметр и площадь треугольника kmn, если известно, что длина отрезка mn равна 8см, длина отрезка

1. Для решения этой задачи мы будем использовать теорему синусов. Общий периметр \(P\) треугольника \(kmn\) равен сумме длин его сторон \(kn\), \(nm\), \(mk\).

Сначала найдем третью сторону \(mk\) треугольника, используя теорему косинусов:
\[mk = \sqrt{kn^2 + mn^2 - 2 \cdot kn \cdot mn \cdot \cos{angle\,n}}\]

Подставим значения:
\[mk = \sqrt{15^2 + 8^2 - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \cos{60}}\]

Вычислим:
\[mk = \sqrt{225 + 64 - 240 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{289 - 120} = \sqrt{169} = 13\,см\]

Теперь можем найти общий периметр:
\[P = kn + nm + mk = 15\,см + 8\,см + 13\,см = 36\,см\]

Чтобы найти площадь \(S\) треугольника, воспользуемся формулой:
\[S = \frac{1}{2} \cdot kn \cdot mn \cdot \sin{angle\,n}\]

Подставим значения:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 15\,см \cdot 8\,см \cdot \sin{60^\circ}\]

Вычислим:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 15\,см \cdot 8\,см \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\,см^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}\,см^2\]

Таким образом, общий периметр треугольника \(kmn\) равен 36 см, а его площадь равна \(30\sqrt{3}\,см^2\).

2. Для решения этой задачи мы также будем использовать теорему синусов. Длина стороны \(ac\) треугольника \(abc\) равна сумме длин сторон \(ab\) и \(bc\).

Сначала найдем значение угла \(c\):
\[c = a + 60^\circ = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ\]

Теперь найдем длину стороны \(ab\):
\[ab = bc \cdot \frac{\sin{c}}{\sin{a}} = bc \cdot \frac{\sin{105^\circ}}{\sin{45^\circ}}\]

Подставим значения:
\[ab = 3\sqrt{2}\,см \cdot \frac{\sin{105^\circ}}{\sin{45^\circ}}\]

Вычислим:
\[ab = 3\sqrt{2}\,см \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2}\,см \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2})\,см = 3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}\,см\]

Теперь можем найти длину стороны \(ac\):
\[ac = ab + bc = 3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}\,см + 3\sqrt{2}\,см = 3\sqrt{6} + 6\sqrt{2}\,см\]

Таким образом, длина стороны \(ac\) треугольника \(abc\) равна \(3\sqrt{6} + 6\sqrt{2}\,см\).

3. Чтобы найти общий периметр параллелограмма, мы должны сложить длины его четырех сторон.

Сначала найдем длины сторон параллелограмма. Пусть \(a\) и \(b\) - стороны параллелограмма, а \(d_1\) и \(d_2\) - его диагонали.

Из условия известно, что диагонали равны 14 см и 18 см, а соотношение длин сторон составляет 4:7. Это означает, что \(\frac{a}{b} = \frac{4}{7}\).

Разделим диагонали на соответствующие им отрезки:
\(\frac{d_1}{a} = \frac{d_2}{b} = \frac{4}{7}\)

Теперь найдем значения сторон параллелограмма:
\(a = \frac{d_1}{\frac{4}{7}} = \frac{14\,см}{\frac{4}{7}} = \frac{14 \cdot 7}{4} = 24.5\,см\)

\(b = \frac{d_2}{\frac{7}{4}} = \frac{18\,см}{\frac{7}{4}} = \frac{18 \cdot 4}{7} = 10.3\,см\)

Теперь можем найти общий периметр:
\(P = 2a + 2b = 2 \cdot 24.5\,см + 2 \cdot 10.3\,см = 49\,см + 20.6\,см = 69.6\,см\)

Таким образом, общий периметр параллелограмма равен 69.6 см.

4. Радиус описанного круга треугольника равен половине длины его стороны \(a\). Таким образом, радиус \(R_{\text{оп}}\) описанного круга может быть найден по формуле:

\[R_{\text{оп}} = \frac{a}{2}\]

Подставим значение сторон треугольника и найдем радиус описанного круга:
\[R_{\text{оп}} = \frac{7\,см+24\,см+25\,см}{2} = \frac{56\,см}{2} = 28\,см\]

Радиус вписанного круга треугольника равен половине суммы его сторон, деленной на полупериметр \(p\):

\[R_{\text{вп}} = \frac{a+b+c}{2p}\]

Полупериметр \(p\) равен сумме всех сторон, деленной на два:

\[p = \frac{a+b+c}{2}\]

Подставим значения сторон треугольника и найдем полупериметр:
\[p = \frac{7\,см+24\,см+25\,см}{2} = \frac{56\,см}{2} = 28\,см\]

Теперь можем найти радиус вписанного круга:
\[R_{\text{вп}} = \frac{7\,см+24\,см+25\,см}{2 \cdot 28\,см} = \frac{56\,см}{56\,см} = 1\,см\]

Таким образом, радиус описанного круга треугольника равен 28 см, а радиус вписанного круга равен 1 см.