1. Найти объем и площадь поверхности тела, получаемого вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 8 см вокруг

шар имеет радиус 5 мм.
1. Для нахождения объема тела, полученного вращением прямоугольника, мы можем использовать формулу объема тела вращения. Пусть прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной его большей стороне длины 8 см. Тогда при каждом значении x (0 ≤ x ≤ 8) мы имеем кольцо радиусом $h(x)=4$ см и толщиной $dx$. Объем каждого такого кольца можно вычислить как $dV=2\pi xh(x)dx$, где 2 - коэффициент, появляющийся из-за вращения вокруг оси. Чтобы найти объем тела, мы должны проинтегрировать $dV$ по оси вращения: $V=\int dV={\int }_0^{8}2\pi x\cdot 4dx$. По выражении, введенному в интеграл, видно, что приращение x мало в сравнении с радиусом и шириной прямоугольника, поэтому мы можем считать $x$ постоянным в данном случае. Тогда мы можем вытащить $2\pi x$ из-под интеграла и проинтегрировать только по $dx$, получая: $V=2\pi x{\int }_0^{8}4dx$. Проинтегрируем: $V=2\pi x[4x{]}_0^8=2\pi x(4\cdot 8-4\cdot 0)=2\pi x\cdot 32=64\pi x$. Подставим единичные значения из условия задачи: $V=64\pi \cdot 8=512\pi$. Таким образом, объем тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг оси, параллельной большей стороне, равен $512\pi$ кубических сантиметров.

Для нахождения площади поверхности тела, полученного вращением прямоугольника, мы можем использовать формулу площади поверхности тела вращения. Пусть прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной его большей стороне длины 8 см. Тогда площадь каждого элементарного поверхностного элемента равна $dS=2\pi xh(x)dx$, где 2 - коэффициент, появляющийся из-за вращения вокруг оси. Чтобы найти площадь поверхности тела, мы должны проинтегрировать $dS$ по оси вращения: $S=\int dS={\int }_0^{8}2\pi x\cdot 4dx$. По выражению, введенному в интеграл, видно, что приращение x мало в сравнении с радиусом и шириной прямоугольника, поэтому мы можем считать $x$ постоянным в данном случае. Тогда мы можем вытащить $2\pi x$ из-под интеграла и проинтегрировать только по $dx$, получая: $S=2\pi x{\int }_0^{8}4dx$. Проинтегрируем: $S=2\pi x[4x{]}_0^8=2\pi x(4\cdot 8-4\cdot 0)=2\pi x\cdot 32=64\pi x$. Подставим единичные значения из условия задачи: $S=64\pi \cdot 8=512\pi$. Таким образом, площадь поверхности тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг оси, параллельной большей стороне, равна $512\pi$ квадратных сантиметров.

2. Пусть прямоугольник вращается вокруг катета длины 4 см. Тогда при каждом значении x (0 ≤ x ≤ 4) мы имеем кольцо радиусом $h(x)=\sqrt{5^2-x^2}$ см и толщиной dx. Объем каждого такого кольца можно вычислить так же, как и в предыдущей задаче, $dV=2\pi xh(x)dx$. Чтобы найти объем тела, мы должны проинтегрировать $dV$ по оси вращения: $V=\int dV={\int }_0^{4}2\pi x\cdot \sqrt{5^2-x^2}dx$. Определенный интеграл этой функции не может быть найден в явном виде, поэтому мы можем использовать метод подстановок для вычисления этого интеграла. Сделаем замену $t=5^2-x^2$, откуда $dt=-2xdx$. Подставим полученные значения в интеграл: $V=-{\int }_{25}^9\pi dt=[-\pi t{]}_{25}^9=-\pi \cdot (9-25)=16\pi$. Таким образом, объем тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг катета, равен $16\pi$ кубических сантиметров.

Чтобы найти площадь поверхности тела, полученного вращением прямоугольника, мы можем использовать формулу площади поверхности тела вращения. Пусть прямоугольник вращается вокруг катета длины 4 см. Тогда площадь каждого элементарного поверхностного элемента равна $dS=2\pi xh(x)dx$, где 2 - коэффициент, появляющийся из-за вращения вокруг оси. Чтобы найти площадь поверхности тела, мы должны проинтегрировать $dS$ по оси вращения: $S=\int dS={\int }_0^{4}2\pi x\cdot \sqrt{5^2-x^2}dx$. Используем подстановку $t=5^2-x^2$, откуда $dt=-2xdx$. Подставим значения в интеграл: $S=-{\int }_{25}^9\pi dt=[-\pi t{]}_{25}^9=-\pi \cdot (9-25)=16\pi$. Таким образом, площадь поверхности тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг катета, равна $16\pi$ квадратных сантиметров.

3. Чтобы найти объем шара, мы можем использовать формулу объема шара: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - радиус шара. Подставим значение радиуса 5 см в формулу и вычислим: $V=\frac{4}{3}\pi \cdot 5^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 125=\frac{500}{3}\pi$. Таким образом, объем шара равен $\frac{500}{3}\pi$ кубических сантиметров.

Для нахождения площади поверхности шара, мы можем использовать формулу площади поверхности шара: $S=4\pi R^2$, где $R$ - радиус шара. Подставим значение радиуса 5 см в формулу и вычислим: $S=4\pi \cdot 5^2=4\pi \cdot 25=100\pi$. Таким образом, площадь поверхности шара равна $100\pi$ квадратных сантиметров.

4. Уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4) может быть записано в виде $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$, где $(a,b,c)$ - координаты центра сферы, а $R$ - радиус сферы. Подставим значения из условия задачи: $(x+1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-4{)}^2=3^2$. Раскроем скобки и упростим уравнение: $x^2+2x+1+y^2+4y+4+z^2-8z+16=9$. Прибавим 8 к обеим частям уравнения и перенесем 9 налево: $x^2+2x+y^2+4y+z^2-8z+24=0$. Таким образом, уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4) имеет вид $x^2+2x+y^2+4y+z^2-8z+24=0$.

5. Если объемы двух шаров равны, то мы можем использовать формулу объема шара для нахождения радиуса. Пусть радиус одного шара равен 3 мм и его объем также равен $V$. Тогда по формуле объема шара: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - радиус шара. Подставим значение объема и радиуса в формулу и найдем неизвестный радиус: $V=\frac{4}{3}\pi \cdot (3\text{мм}{)}^3$, $V=\frac{4}{3}\pi \cdot 27{\text{мм}}^3$. Чтобы найти радиус шара, мы должны из этого уравнения выразить $R$. Делим обе части уравнения на $\frac{4}{3}\pi$ и извлекаем кубический корень: $R^3=\frac{3}{4\pi }\cdot V$, $R=\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi }\cdot V}$. Подставим значение объема $V$ в формулу и вычислим радиус: $R=\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi }\cdot V}$, $R=\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi }\cdot 27{\text{мм}}^3}$. Таким образом, радиус шара можно вычислить по формуле радиуса шара в зависимости от его объема, и он будет равен $R$ миллиметров.

Ответы:
1. Объем тела, полученного вращением прямоугольника вокруг оси, параллельной большей стороне, равен $512\pi$ кубических сантиметров. Площадь поверхности этого тела равна $512\pi$ квадратных сантиметров.
2. Объем тела, полученного вращением прямоугольника вокруг катета, равен $16\pi$ кубических сантиметров. Площадь поверхности этого тела равна $16\pi$ квадратных сантиметров.
3. Объем шара с радиусом 5 см равен $\frac{500}{3}\pi$ кубических сантиметров. Площадь поверхности шара равна $100\pi$ квадратных сантиметров.
4. Уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4) имеет вид $x^2+2x+y^2+4y+z^2-8z+24=0$.
5. Радиус шара, объем которого равен объему шара с радиусом 3 мм, равен $R$ миллиметров.