1. Найти объем и площадь поверхности тела, получаемого вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 8 см вокруг оси, параллельной большей стороне.
2. Найти объем и площадь поверхности тела, получаемого вращением прямоугольника с катетом 4 см и гипотенузой 5 см вокруг катета.
3. Найти объем и площадь поверхности шара с радиусом 5 см.
4. Написать уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4).
5. Объемы двух шаров равны. Определить радиус шара, если один шар имеет радиус 3 мм, а другой - 4 мм.
2. Найти объем и площадь поверхности тела, получаемого вращением прямоугольника с катетом 4 см и гипотенузой 5 см вокруг катета.
3. Найти объем и площадь поверхности шара с радиусом 5 см.
4. Написать уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4).
5. Объемы двух шаров равны. Определить радиус шара, если один шар имеет радиус 3 мм, а другой - 4 мм.
Лёха
шар имеет радиус 5 мм.
1. Для нахождения объема тела, полученного вращением прямоугольника, мы можем использовать формулу объема тела вращения. Пусть прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной его большей стороне длины 8 см. Тогда при каждом значении x (0 ≤ x ≤ 8) мы имеем кольцо радиусом \(h(x) = 4\) см и толщиной \(dx\). Объем каждого такого кольца можно вычислить как \(dV = 2 \pi x h(x)dx\), где 2 - коэффициент, появляющийся из-за вращения вокруг оси. Чтобы найти объем тела, мы должны проинтегрировать \(dV\) по оси вращения: \(V = \int dV = \int_{0}^{8} 2\pi x \cdot 4 dx\). По выражении, введенному в интеграл, видно, что приращение x мало в сравнении с радиусом и шириной прямоугольника, поэтому мы можем считать \(x\) постоянным в данном случае. Тогда мы можем вытащить \(2\pi x\) из-под интеграла и проинтегрировать только по \(dx\), получая: \(V = 2\pi x \int_{0}^{8} 4 dx\). Проинтегрируем: \(V = 2\pi x [4x]_{0}^{8} = 2\pi x (4 \cdot 8 - 4 \cdot 0) = 2\pi x \cdot 32 = 64\pi x\). Подставим единичные значения из условия задачи: \(V = 64\pi \cdot 8 = 512\pi\). Таким образом, объем тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг оси, параллельной большей стороне, равен \(512\pi\) кубических сантиметров.
Для нахождения площади поверхности тела, полученного вращением прямоугольника, мы можем использовать формулу площади поверхности тела вращения. Пусть прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной его большей стороне длины 8 см. Тогда площадь каждого элементарного поверхностного элемента равна \(dS = 2 \pi x h(x)dx\), где 2 - коэффициент, появляющийся из-за вращения вокруг оси. Чтобы найти площадь поверхности тела, мы должны проинтегрировать \(dS\) по оси вращения: \(S = \int dS = \int_{0}^{8} 2\pi x \cdot 4 dx\). По выражению, введенному в интеграл, видно, что приращение x мало в сравнении с радиусом и шириной прямоугольника, поэтому мы можем считать \(x\) постоянным в данном случае. Тогда мы можем вытащить \(2\pi x\) из-под интеграла и проинтегрировать только по \(dx\), получая: \(S = 2\pi x \int_{0}^{8} 4 dx\). Проинтегрируем: \(S = 2\pi x [4x]_{0}^{8} = 2\pi x (4 \cdot 8 - 4 \cdot 0) = 2\pi x \cdot 32 = 64\pi x\). Подставим единичные значения из условия задачи: \(S = 64\pi \cdot 8 = 512\pi\). Таким образом, площадь поверхности тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг оси, параллельной большей стороне, равна \(512\pi\) квадратных сантиметров.
2. Пусть прямоугольник вращается вокруг катета длины 4 см. Тогда при каждом значении x (0 ≤ x ≤ 4) мы имеем кольцо радиусом \(h(x) = \sqrt{5^2 - x^2}\) см и толщиной dx. Объем каждого такого кольца можно вычислить так же, как и в предыдущей задаче, \(dV = 2\pi x h(x)dx\). Чтобы найти объем тела, мы должны проинтегрировать \(dV\) по оси вращения: \(V = \int dV = \int_{0}^{4} 2\pi x \cdot \sqrt{5^2 - x^2} dx\). Определенный интеграл этой функции не может быть найден в явном виде, поэтому мы можем использовать метод подстановок для вычисления этого интеграла. Сделаем замену \(t = 5^2 - x^2\), откуда \(dt = -2x \, dx\). Подставим полученные значения в интеграл: \(V = -\int_{25}^{9} \pi \, dt = [-\pi t]_{25}^{9} = -\pi \cdot (9 - 25) = 16\pi\). Таким образом, объем тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг катета, равен \(16\pi\) кубических сантиметров.
Чтобы найти площадь поверхности тела, полученного вращением прямоугольника, мы можем использовать формулу площади поверхности тела вращения. Пусть прямоугольник вращается вокруг катета длины 4 см. Тогда площадь каждого элементарного поверхностного элемента равна \(dS = 2 \pi x h(x)dx\), где 2 - коэффициент, появляющийся из-за вращения вокруг оси. Чтобы найти площадь поверхности тела, мы должны проинтегрировать \(dS\) по оси вращения: \(S = \int dS = \int_{0}^{4} 2\pi x \cdot \sqrt{5^2 - x^2} dx\). Используем подстановку \(t = 5^2 - x^2\), откуда \(dt = -2x \, dx\). Подставим значения в интеграл: \(S = -\int_{25}^{9} \pi \, dt = [-\pi t]_{25}^{9} = -\pi \cdot (9 - 25) = 16\pi\). Таким образом, площадь поверхности тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг катета, равна \(16\pi\) квадратных сантиметров.
3. Чтобы найти объем шара, мы можем использовать формулу объема шара: \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\), где \(R\) - радиус шара. Подставим значение радиуса 5 см в формулу и вычислим: \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi\). Таким образом, объем шара равен \(\frac{500}{3} \pi\) кубических сантиметров.
Для нахождения площади поверхности шара, мы можем использовать формулу площади поверхности шара: \(S = 4 \pi R^2\), где \(R\) - радиус шара. Подставим значение радиуса 5 см в формулу и вычислим: \(S = 4 \pi \cdot 5^2 = 4 \pi \cdot 25 = 100 \pi\). Таким образом, площадь поверхности шара равна \(100 \pi\) квадратных сантиметров.
4. Уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4) может быть записано в виде \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), где \((a, b, c)\) - координаты центра сферы, а \(R\) - радиус сферы. Подставим значения из условия задачи: \((x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 3^2\). Раскроем скобки и упростим уравнение: \(x^2 + 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 + z^2 - 8z + 16 = 9\). Прибавим 8 к обеим частям уравнения и перенесем 9 налево: \(x^2 + 2x + y^2 + 4y + z^2 - 8z + 24 = 0\). Таким образом, уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4) имеет вид \(x^2 + 2x + y^2 + 4y + z^2 - 8z + 24 = 0\).
5. Если объемы двух шаров равны, то мы можем использовать формулу объема шара для нахождения радиуса. Пусть радиус одного шара равен 3 мм и его объем также равен \(V\). Тогда по формуле объема шара: \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\), где \(R\) - радиус шара. Подставим значение объема и радиуса в формулу и найдем неизвестный радиус: \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot (3 \, \text{мм})^3\), \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 \, \text{мм}^3\). Чтобы найти радиус шара, мы должны из этого уравнения выразить \(R\). Делим обе части уравнения на \(\frac{4}{3} \pi\) и извлекаем кубический корень: \(R^3 = \frac{3}{4\pi} \cdot V\), \(R = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi} \cdot V}\). Подставим значение объема \(V\) в формулу и вычислим радиус: \(R = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi} \cdot V}\), \(R = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi} \cdot 27 \, \text{мм}^3}\). Таким образом, радиус шара можно вычислить по формуле радиуса шара в зависимости от его объема, и он будет равен \(R\) миллиметров.
Ответы:
1. Объем тела, полученного вращением прямоугольника вокруг оси, параллельной большей стороне, равен \(512\pi\) кубических сантиметров. Площадь поверхности этого тела равна \(512\pi\) квадратных сантиметров.
2. Объем тела, полученного вращением прямоугольника вокруг катета, равен \(16\pi\) кубических сантиметров. Площадь поверхности этого тела равна \(16\pi\) квадратных сантиметров.
3. Объем шара с радиусом 5 см равен \(\frac{500}{3} \pi\) кубических сантиметров. Площадь поверхности шара равна \(100 \pi\) квадратных сантиметров.
4. Уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4) имеет вид \(x^2 + 2x + y^2 + 4y + z^2 - 8z + 24 = 0\).
5. Радиус шара, объем которого равен объему шара с радиусом 3 мм, равен \(R\) миллиметров.
1. Для нахождения объема тела, полученного вращением прямоугольника, мы можем использовать формулу объема тела вращения. Пусть прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной его большей стороне длины 8 см. Тогда при каждом значении x (0 ≤ x ≤ 8) мы имеем кольцо радиусом \(h(x) = 4\) см и толщиной \(dx\). Объем каждого такого кольца можно вычислить как \(dV = 2 \pi x h(x)dx\), где 2 - коэффициент, появляющийся из-за вращения вокруг оси. Чтобы найти объем тела, мы должны проинтегрировать \(dV\) по оси вращения: \(V = \int dV = \int_{0}^{8} 2\pi x \cdot 4 dx\). По выражении, введенному в интеграл, видно, что приращение x мало в сравнении с радиусом и шириной прямоугольника, поэтому мы можем считать \(x\) постоянным в данном случае. Тогда мы можем вытащить \(2\pi x\) из-под интеграла и проинтегрировать только по \(dx\), получая: \(V = 2\pi x \int_{0}^{8} 4 dx\). Проинтегрируем: \(V = 2\pi x [4x]_{0}^{8} = 2\pi x (4 \cdot 8 - 4 \cdot 0) = 2\pi x \cdot 32 = 64\pi x\). Подставим единичные значения из условия задачи: \(V = 64\pi \cdot 8 = 512\pi\). Таким образом, объем тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг оси, параллельной большей стороне, равен \(512\pi\) кубических сантиметров.
Для нахождения площади поверхности тела, полученного вращением прямоугольника, мы можем использовать формулу площади поверхности тела вращения. Пусть прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной его большей стороне длины 8 см. Тогда площадь каждого элементарного поверхностного элемента равна \(dS = 2 \pi x h(x)dx\), где 2 - коэффициент, появляющийся из-за вращения вокруг оси. Чтобы найти площадь поверхности тела, мы должны проинтегрировать \(dS\) по оси вращения: \(S = \int dS = \int_{0}^{8} 2\pi x \cdot 4 dx\). По выражению, введенному в интеграл, видно, что приращение x мало в сравнении с радиусом и шириной прямоугольника, поэтому мы можем считать \(x\) постоянным в данном случае. Тогда мы можем вытащить \(2\pi x\) из-под интеграла и проинтегрировать только по \(dx\), получая: \(S = 2\pi x \int_{0}^{8} 4 dx\). Проинтегрируем: \(S = 2\pi x [4x]_{0}^{8} = 2\pi x (4 \cdot 8 - 4 \cdot 0) = 2\pi x \cdot 32 = 64\pi x\). Подставим единичные значения из условия задачи: \(S = 64\pi \cdot 8 = 512\pi\). Таким образом, площадь поверхности тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг оси, параллельной большей стороне, равна \(512\pi\) квадратных сантиметров.
2. Пусть прямоугольник вращается вокруг катета длины 4 см. Тогда при каждом значении x (0 ≤ x ≤ 4) мы имеем кольцо радиусом \(h(x) = \sqrt{5^2 - x^2}\) см и толщиной dx. Объем каждого такого кольца можно вычислить так же, как и в предыдущей задаче, \(dV = 2\pi x h(x)dx\). Чтобы найти объем тела, мы должны проинтегрировать \(dV\) по оси вращения: \(V = \int dV = \int_{0}^{4} 2\pi x \cdot \sqrt{5^2 - x^2} dx\). Определенный интеграл этой функции не может быть найден в явном виде, поэтому мы можем использовать метод подстановок для вычисления этого интеграла. Сделаем замену \(t = 5^2 - x^2\), откуда \(dt = -2x \, dx\). Подставим полученные значения в интеграл: \(V = -\int_{25}^{9} \pi \, dt = [-\pi t]_{25}^{9} = -\pi \cdot (9 - 25) = 16\pi\). Таким образом, объем тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг катета, равен \(16\pi\) кубических сантиметров.
Чтобы найти площадь поверхности тела, полученного вращением прямоугольника, мы можем использовать формулу площади поверхности тела вращения. Пусть прямоугольник вращается вокруг катета длины 4 см. Тогда площадь каждого элементарного поверхностного элемента равна \(dS = 2 \pi x h(x)dx\), где 2 - коэффициент, появляющийся из-за вращения вокруг оси. Чтобы найти площадь поверхности тела, мы должны проинтегрировать \(dS\) по оси вращения: \(S = \int dS = \int_{0}^{4} 2\pi x \cdot \sqrt{5^2 - x^2} dx\). Используем подстановку \(t = 5^2 - x^2\), откуда \(dt = -2x \, dx\). Подставим значения в интеграл: \(S = -\int_{25}^{9} \pi \, dt = [-\pi t]_{25}^{9} = -\pi \cdot (9 - 25) = 16\pi\). Таким образом, площадь поверхности тела, получаемого вращением прямоугольника вокруг катета, равна \(16\pi\) квадратных сантиметров.
3. Чтобы найти объем шара, мы можем использовать формулу объема шара: \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\), где \(R\) - радиус шара. Подставим значение радиуса 5 см в формулу и вычислим: \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi\). Таким образом, объем шара равен \(\frac{500}{3} \pi\) кубических сантиметров.
Для нахождения площади поверхности шара, мы можем использовать формулу площади поверхности шара: \(S = 4 \pi R^2\), где \(R\) - радиус шара. Подставим значение радиуса 5 см в формулу и вычислим: \(S = 4 \pi \cdot 5^2 = 4 \pi \cdot 25 = 100 \pi\). Таким образом, площадь поверхности шара равна \(100 \pi\) квадратных сантиметров.
4. Уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4) может быть записано в виде \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), где \((a, b, c)\) - координаты центра сферы, а \(R\) - радиус сферы. Подставим значения из условия задачи: \((x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 3^2\). Раскроем скобки и упростим уравнение: \(x^2 + 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 + z^2 - 8z + 16 = 9\). Прибавим 8 к обеим частям уравнения и перенесем 9 налево: \(x^2 + 2x + y^2 + 4y + z^2 - 8z + 24 = 0\). Таким образом, уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4) имеет вид \(x^2 + 2x + y^2 + 4y + z^2 - 8z + 24 = 0\).
5. Если объемы двух шаров равны, то мы можем использовать формулу объема шара для нахождения радиуса. Пусть радиус одного шара равен 3 мм и его объем также равен \(V\). Тогда по формуле объема шара: \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\), где \(R\) - радиус шара. Подставим значение объема и радиуса в формулу и найдем неизвестный радиус: \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot (3 \, \text{мм})^3\), \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 \, \text{мм}^3\). Чтобы найти радиус шара, мы должны из этого уравнения выразить \(R\). Делим обе части уравнения на \(\frac{4}{3} \pi\) и извлекаем кубический корень: \(R^3 = \frac{3}{4\pi} \cdot V\), \(R = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi} \cdot V}\). Подставим значение объема \(V\) в формулу и вычислим радиус: \(R = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi} \cdot V}\), \(R = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi} \cdot 27 \, \text{мм}^3}\). Таким образом, радиус шара можно вычислить по формуле радиуса шара в зависимости от его объема, и он будет равен \(R\) миллиметров.
Ответы:
1. Объем тела, полученного вращением прямоугольника вокруг оси, параллельной большей стороне, равен \(512\pi\) кубических сантиметров. Площадь поверхности этого тела равна \(512\pi\) квадратных сантиметров.
2. Объем тела, полученного вращением прямоугольника вокруг катета, равен \(16\pi\) кубических сантиметров. Площадь поверхности этого тела равна \(16\pi\) квадратных сантиметров.
3. Объем шара с радиусом 5 см равен \(\frac{500}{3} \pi\) кубических сантиметров. Площадь поверхности шара равна \(100 \pi\) квадратных сантиметров.
4. Уравнение сферы с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1;-2;4) имеет вид \(x^2 + 2x + y^2 + 4y + z^2 - 8z + 24 = 0\).
5. Радиус шара, объем которого равен объему шара с радиусом 3 мм, равен \(R\) миллиметров.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
