Какова сумма положительных чисел в арифметической прогрессии с первым членом 100 и разностью -23?

Хорошо! Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается прибавлением фиксированной величины (разности) к предыдущему числу.

В данном случае, первый член арифметической прогрессии равен 100, а разность равна -23. Таким образом, нам нужно найти сумму всех положительных членов этой прогрессии.

Формула для суммы членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Где:
\(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии;
\(a_1\) - первый член прогрессии;
\(a_n\) - последний (n-ый) член прогрессии;
\(n\) - количество членов прогрессии.

В данной задаче, нам нужно найти сумму всех положительных членов прогрессии, поэтому нам нужно найти количество положительных членов.

Так как первый член прогрессии равен 100, а разность равна -23, мы можем найти последний член прогрессии, приравняв его к нулю и решив уравнение:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d = 0\]

\[100 + (n - 1)(-23) = 0\]

Теперь решим это уравнение:

\[100 - 23n + 23 = 0\]

\[123 - 23n = 0\]

\[23n = 123\]

\[n = \frac{123}{23}\]

\[n \approx 5.35\]

Так как \(n\) должно быть целым числом, округлим \(n\) вниз до 5.

Теперь мы знаем количество членов прогрессии, найдем количество положительных членов. Для этого нужно определить, какие члены являются положительными.

Разность прогрессии равна -23, что означает, что каждый следующий член получается путем вычитания 23 из предыдущего.

Каждый член прогрессии становится отрицательным после того, как разность, добавленная к нему, переводит его в ноль или отрицательное значение. Так как в данном случае первый член равен 100, чтобы найти последний положительный член, нужно приравнять к нулю предыдущий член и решить уравнение:

\[100 + (n - m)d = 0\]

\[100 + (5 - m)(-23) = 0\]

\[100 - 23(5 - m) = 0\]

\[100 - 115 + 23m = 0\]

\[23m = 15\]

\[m = \frac{15}{23}\]

\[m \approx 0.65\]

Так как \(m\) должно быть целым числом, округлим \(m\) вниз до 0.

Теперь мы знаем, что всего в данной прогрессии 5 членов, и первый положительный член находится на позиции \(m+1 = 0+1 = 1\), а последний положительный член находится на позиции \(n = 5\).

Теперь, используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии, мы можем найти сумму всех положительных членов:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

\[S_5 = \frac{5}{2}(100 + a_5)\]

Так как у нас есть только 5 членов, а последний член находится на позиции 5, мы можем найти \(a_5\) следующим образом:

\[a_5 = a_1 + (n - 1)d\]

\[a_5 = 100 + (5 - 1)(-23)\]

\[a_5 = 100 - 4 \cdot 23\]

\[a_5 = 100 - 92\]

\[a_5 = 8\]

Теперь подставим значения в формулу для суммы:

\[S_5 = \frac{5}{2}(100 + 8)\]

\[S_5 = \frac{5}{2} \cdot 108\]

\[S_5 = \frac{5}{2} \cdot 54\]

\[S_5 = 5 \cdot 27\]

\[S_5 = 135\]

Таким образом, сумма всех положительных чисел в данной арифметической прогрессии равна 135.