1. Найдите значения функции f (х) = х2/2 – 3х при x=2 и x=-3; также найдите нули функции. 2. Определите, для каких

1. Для нахождения значений функции \(f(x)\) при \(x = 2\) и \(x = -3\) подставим эти значения вместо \(x\) в выражение \(f(x) = \frac{x^2}{2} - 3x\):
- При \(x = 2\):
\[f(2) = \frac{2^2}{2} - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4\]
- При \(x = -3\):
\[f(-3) = \frac{(-3)^2}{2} - 3 \cdot (-3) = \frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2} + \frac{18}{2} = \frac{27}{2}\]

Чтобы найти нули функции, решим уравнение \(f(x) = 0\):
\[\frac{x^2}{2} - 3x = 0\]
\[\frac{x(x-6)}{2} = 0\]
Таким образом, нули функции \(f(x)\) равны \(x = 0\) и \(x = 6\).

2. Для определения, для каких значений \(x\) функция \(f(x) = \frac{x - 5}{x^2 + x - 6}\) определена, необходимо исключить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю. Решим уравнение \(x^2 + x - 6 = 0\):
\[(x + 3)(x - 2) = 0\]
Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x = -3\) и \(x = 2\).
Поэтому, функция \(f(x)\) не определена при \(x = -3\) и \(x = 2\), так как знаменатель равен нулю в этих точках.

3. Чтобы построить график функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\), создадим таблицу значений \(x\) и соответствующих значений функции \(f(x)\). Для простоты выберем несколько значений \(x\):
\[x\ \ \ \ \ | \ \ \ \ \ f(x)\]
\[-2\ \ \ \ \ | \ \ \ \ \ 11\]
\[-1\ \ \ \ \ | \ \ \ \ \ 0\]
\[0\ \ \ \ \ | \ \ \ \ \ -3\]
\[1\ \ \ \ \ | \ \ \ \ \ -4\]
\[2\ \ \ \ \ | \ \ \ \ \ -3\]
\[3\ \ \ \ \ | \ \ \ \ \ 0\]
\[4\ \ \ \ \ | \ \ \ \ \ 11\]

С помощью полученных значений построим график функции:

\[
\begin{array}{}
& \\
& \\
& \\
& \\
& - - - - - - - \\
& \\
& \\
& \\
& \\
- - \\
\end{array}
\]

Из графика видно, что область значений функции \(f(x)\) - это все действительные числа.
Интервал убывания функции \(f(x)\) - это интервал от \(-\infty\) до точки минимума функции.
Множество значений \(x\) для которых \(f(x) < 0\) - это интервал между корнями функции.

4. Построим графики функций:
1) \(f(x) = \sqrt{x} + 3\):
\[
\begin{array}{}
& \\
& \\
& \\
& \\
& - - - \\
- - - \\
\end{array}
\]

2) \(f(x) = \sqrt{x + 3}\):
\[
\begin{array}{}
& \\
& \\
& \\
& \\
- - - \\
\end{array}
\]

5. Чтобы определить область определения функции \(f(x) = \sqrt{x-3} + \frac{4}{x^2-25}\), необходимо исключить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю и аргументы корня неотрицательны.
1) Исключим значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю:
\[x^2 - 25 = 0\]
\[(x - 5)(x + 5) = 0\]
Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x = -5\) и \(x = 5\).
2) Исключим значения \(x\), при которых аргументы корня меньше нуля:
\[x - 3 \geq 0\]
Отсюда получаем, что \(x \geq 3\).

Таким образом, область определения функции \(f(x)\) - это все значения \(x\) больше либо равные 3, за исключением \(x = -5\) и \(x = 5\).

6. Чтобы узнать, при каких значениях \(b\) и \(c\) вершина параболы \(y = -2x^2 + bx + c\) находится в точке, необходимо найти координаты вершины параболы. Вершина параболы имеет формат \((h, k)\), где \(h\) - это x-координата вершины, а \(k\) - это y-координата вершины.

Для параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\) координаты вершины могут быть найдены с помощью формулы \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k = f(h)\), где \(f(x)\) - это уравнение параболы.

В данном случае, \(a = -2\), \(b = b\) и \(c = c\).
Следовательно, \(h = -\frac{b}{2 \cdot (-2)} = \frac{b}{4}\) и \(k = f\left(\frac{b}{4}\right) = -2\left(\frac{b}{4}\right)^2 + b \cdot \frac{b}{4} + c\).

Таким образом, вершина параболы будет находиться в точке \(\left(\frac{b}{4}, -2\left(\frac{b}{4}\right)^2 + b \cdot \frac{b}{4} + c\right)\).