1. Найдите значения функции f (х) = х2/2 – 3х при x=2 и x=-3; также найдите нули функции. 2. Определите, для каких

1. Для нахождения значений функции $f(x)$ при $x=2$ и $x=-3$ подставим эти значения вместо $x$ в выражение $f(x)=\frac{x^2}{2}-3x$:
- При $x=2$:
$$f(2)=\frac{2^2}{2}-3\cdot 2=2-6=-4$$
- При $x=-3$:
$$f(-3)=\frac{(-3{)}^2}{2}-3\cdot (-3)=\frac{9}{2}+9=\frac{9}{2}+\frac{18}{2}=\frac{27}{2}$$

Чтобы найти нули функции, решим уравнение $f(x)=0$:
$$\frac{x^2}{2}-3x=0$$
$$\frac{x(x-6)}{2}=0$$
Таким образом, нули функции $f(x)$ равны $x=0$ и $x=6$.

2. Для определения, для каких значений $x$ функция $f(x)=\frac{x-5}{x^2+x-6}$ определена, необходимо исключить значения $x$, при которых знаменатель равен нулю. Решим уравнение $x^2+x-6=0$:
$$(x+3)(x-2)=0$$
Отсюда получаем два возможных значения $x$: $x=-3$ и $x=2$.
Поэтому, функция $f(x)$ не определена при $x=-3$ и $x=2$, так как знаменатель равен нулю в этих точках.

3. Чтобы построить график функции $f(x)=x^2-2x-3$, создадим таблицу значений $x$ и соответствующих значений функции $f(x)$. Для простоты выберем несколько значений $x$:
$$x|f(x)$$
$$-2|11$$
$$-1|0$$
$$0|-3$$
$$1|-4$$
$$2|-3$$
$$3|0$$
$$4|11$$

С помощью полученных значений построим график функции:

$$\begin{array}{}& \\ & \\ & \\ & \\ & -------\\ & \\ & \\ & \\ & \\ --\end{array}$$

Из графика видно, что область значений функции $f(x)$ - это все действительные числа.
Интервал убывания функции $f(x)$ - это интервал от $-\mathrm{\infty }$ до точки минимума функции.
Множество значений $x$ для которых $f(x)<0$ - это интервал между корнями функции.

4. Построим графики функций:
1) $f(x)=\sqrt{x}+3$:
$$\begin{array}{}& \\ & \\ & \\ & \\ & ---\\ ---\end{array}$$

2) $f(x)=\sqrt{x+3}$:
$$\begin{array}{}& \\ & \\ & \\ & \\ ---\end{array}$$

5. Чтобы определить область определения функции $f(x)=\sqrt{x-3}+\frac{4}{x^2-25}$, необходимо исключить значения $x$, при которых знаменатель равен нулю и аргументы корня неотрицательны.
1) Исключим значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$$x^2-25=0$$
$$(x-5)(x+5)=0$$
Отсюда получаем два возможных значения $x$: $x=-5$ и $x=5$.
2) Исключим значения $x$, при которых аргументы корня меньше нуля:
$$x-3\ge 0$$
Отсюда получаем, что $x\ge 3$.

Таким образом, область определения функции $f(x)$ - это все значения $x$ больше либо равные 3, за исключением $x=-5$ и $x=5$.

6. Чтобы узнать, при каких значениях $b$ и $c$ вершина параболы $y=-2x^2+bx+c$ находится в точке, необходимо найти координаты вершины параболы. Вершина параболы имеет формат $(h,k)$, где $h$ - это x-координата вершины, а $k$ - это y-координата вершины.

Для параболы вида $y=a{x}^2+bx+c$ координаты вершины могут быть найдены с помощью формулы $h=-\frac{b}{2a}$ и $k=f(h)$, где $f(x)$ - это уравнение параболы.

В данном случае, $a=-2$, $b=b$ и $c=c$.
Следовательно, $h=-\frac{b}{2\cdot (-2)}=\frac{b}{4}$ и $k=f\left(\frac{b}{4}\right)=-2{\left(\frac{b}{4}\right)}^2+b\cdot \frac{b}{4}+c$.

Таким образом, вершина параболы будет находиться в точке $(\frac{b}{4},-2{\left(\frac{b}{4}\right)}^2+b\cdot \frac{b}{4}+c)$.