1. Найдите высоту цилиндра (в дециметрах) получаемого путем переплавки металлического шара радиуса 3√9 дм, если боковая поверхность цилиндра в 3 раза больше площади его основания. При этом пренебрегите потерями металла при переплавке.
2. Вычислите площадь поверхности шара с длиной окружности сечения плоскостью, равной 10π см, и расстоянием от центра шара до плоскости сечения, равным 12 см.
2. Вычислите площадь поверхности шара с длиной окружности сечения плоскостью, равной 10π см, и расстоянием от центра шара до плоскости сечения, равным 12 см.
Chaynik
Давайте начнем с задачи номер 1.
У нас есть металлический шар радиуса \(3\sqrt{9}\) дм, который будет переплавлен и превратится в цилиндр. Нам нужно найти высоту этого цилиндра. Допустим, что высота цилиндра равна \(h\) дм.
Из условия задачи известно, что боковая поверхность цилиндра в 3 раза больше площади его основания. Площадь основания цилиндра равна площади круга с радиусом \(3\sqrt{9}\):
\[S_{\text{основания}} = \pi \cdot (3\sqrt{9})^2\]
А боковая поверхность цилиндра равна площади прямоугольника, у которого высота равна высоте цилиндра (\(h\)), а ширина равна длине окружности шара:
\[S_{\text{боковая}} = 2\pi \cdot (3\sqrt{9}) \cdot h\]
Таким образом, условие задачи можно записать в виде уравнения:
\[2\pi \cdot (3\sqrt{9}) \cdot h = 3 \cdot \pi \cdot (3\sqrt{9})^2\]
Очистим это уравнение от лишних множителей:
\[18\pi \cdot h = 27\pi \cdot 9\]
Теперь можно разделить обе части уравнения на \(18\pi\) для нахождения значения \(h\):
\[h = \frac{27\pi \cdot 9}{18\pi}\]
Сокращаем множители:
\[h = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}\]
Упрощаем выражение:
\[h = 9\]
Таким образом, высота цилиндра равна 9 дм.
Перейдем к задаче номер 2.
У нас есть шар, и нам нужно найти его площадь поверхности. Известно, что длина окружности сечения плоскостью равна \(10\pi\) см, а расстояние от центра шара до плоскости сечения равно \(r\) см.
Заметим, что плоскость сечения шара параллельна его основанию, и поэтому она пересекает горизонтальные сечения шара и при - этом делит его на две полусферы.
Площадь поверхности каждой полусферы равна половине площади поверхности шара. Площадь поверхности шара можно вычислить с помощью формулы:
\[S_{\text{шара}} = 4\pi \cdot R^2\]
Длина окружности сечения равна \(2\pi \cdot r\), а радиус шара равен \(R\). Мы можем найти \(R\) из данного радиуса с помощью соотношения:
\[R = \frac{r}{2}\]
Таким образом, площадь поверхности полусферы равна:
\[S_{\text{полусферы}} = 2\pi \cdot \left(\frac{r}{2}\right)^2\]
Теперь можем вычислить площадь поверхности шара:
\[S_{\text{шара}} = 2 \cdot S_{\text{полусферы}}\]
Подставим значение \(S_{\text{полусферы}}\):
\[S_{\text{шара}} = 2 \cdot 2\pi \cdot \left(\frac{r}{2}\right)^2\]
Упростим выражение и получим площадь поверхности шара:
\[S_{\text{шара}} = 2\pi \cdot \frac{r^2}{2^2}\]
\[S_{\text{шара}} = \pi \cdot \frac{r^2}{4}\]
Ответом будет площадь поверхности шара, выраженная через \(r\):
\[S_{\text{шара}} = \frac{\pi r^2}{4}\]
Таким образом, мы нашли выражение для площади поверхности шара в зависимости от радиуса \(r\).
У нас есть металлический шар радиуса \(3\sqrt{9}\) дм, который будет переплавлен и превратится в цилиндр. Нам нужно найти высоту этого цилиндра. Допустим, что высота цилиндра равна \(h\) дм.
Из условия задачи известно, что боковая поверхность цилиндра в 3 раза больше площади его основания. Площадь основания цилиндра равна площади круга с радиусом \(3\sqrt{9}\):
\[S_{\text{основания}} = \pi \cdot (3\sqrt{9})^2\]
А боковая поверхность цилиндра равна площади прямоугольника, у которого высота равна высоте цилиндра (\(h\)), а ширина равна длине окружности шара:
\[S_{\text{боковая}} = 2\pi \cdot (3\sqrt{9}) \cdot h\]
Таким образом, условие задачи можно записать в виде уравнения:
\[2\pi \cdot (3\sqrt{9}) \cdot h = 3 \cdot \pi \cdot (3\sqrt{9})^2\]
Очистим это уравнение от лишних множителей:
\[18\pi \cdot h = 27\pi \cdot 9\]
Теперь можно разделить обе части уравнения на \(18\pi\) для нахождения значения \(h\):
\[h = \frac{27\pi \cdot 9}{18\pi}\]
Сокращаем множители:
\[h = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}\]
Упрощаем выражение:
\[h = 9\]
Таким образом, высота цилиндра равна 9 дм.
Перейдем к задаче номер 2.
У нас есть шар, и нам нужно найти его площадь поверхности. Известно, что длина окружности сечения плоскостью равна \(10\pi\) см, а расстояние от центра шара до плоскости сечения равно \(r\) см.
Заметим, что плоскость сечения шара параллельна его основанию, и поэтому она пересекает горизонтальные сечения шара и при - этом делит его на две полусферы.
Площадь поверхности каждой полусферы равна половине площади поверхности шара. Площадь поверхности шара можно вычислить с помощью формулы:
\[S_{\text{шара}} = 4\pi \cdot R^2\]
Длина окружности сечения равна \(2\pi \cdot r\), а радиус шара равен \(R\). Мы можем найти \(R\) из данного радиуса с помощью соотношения:
\[R = \frac{r}{2}\]
Таким образом, площадь поверхности полусферы равна:
\[S_{\text{полусферы}} = 2\pi \cdot \left(\frac{r}{2}\right)^2\]
Теперь можем вычислить площадь поверхности шара:
\[S_{\text{шара}} = 2 \cdot S_{\text{полусферы}}\]
Подставим значение \(S_{\text{полусферы}}\):
\[S_{\text{шара}} = 2 \cdot 2\pi \cdot \left(\frac{r}{2}\right)^2\]
Упростим выражение и получим площадь поверхности шара:
\[S_{\text{шара}} = 2\pi \cdot \frac{r^2}{2^2}\]
\[S_{\text{шара}} = \pi \cdot \frac{r^2}{4}\]
Ответом будет площадь поверхности шара, выраженная через \(r\):
\[S_{\text{шара}} = \frac{\pi r^2}{4}\]
Таким образом, мы нашли выражение для площади поверхности шара в зависимости от радиуса \(r\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
