10 класс, . 50 . 1. В кубе abcda1b1c1 найдите значения косинуса угла mc1n, где точки m и n являются серединами сторон

1. Для начала, найдем координаты точек m и n. Точка m является серединой стороны bc, поэтому ее координаты можно найти, найдя среднее арифметическое координат точек b и c:
\[x_m = \frac{x_b + x_c}{2}\]
\[y_m = \frac{y_b + y_c}{2}\]
\[z_m = \frac{z_b + z_c}{2}\]

Точно так же мы можем найти координаты точки n, которая является серединой стороны a1b1:
\[x_n = \frac{x_{a1} + x_{b1}}{2}\]
\[y_n = \frac{y_{a1} + y_{b1}}{2}\]
\[z_n = \frac{z_{a1} + z_{b1}}{2}\]

Теперь, чтобы найти косинус угла mc1n, мы можем использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами. Вектор mc1 можно найти как разность координат точек c1 и m:
\[\vec{mc1} = (\Delta x_{mc1}, \Delta y_{mc1}, \Delta z_{mc1}) = (x_{c1} - x_m, y_{c1} - y_m, z_{c1} - z_m)\]

Аналогично, вектор mn можно найти как разность координат точек n и m:
\[\vec{mn} = (\Delta x_{mn}, \Delta y_{mn}, \Delta z_{mn}) = (x_n - x_m, y_n - y_m, z_n - z_m)\]

Теперь, применяя формулу косинуса угла между векторами, мы получим значение косинуса угла mc1n:
\[\cos(\angle mc1n) = \frac{\vec{mc1} \cdot \vec{mn}}{\lVert\vec{mc1}\rVert \cdot \lVert\vec{mn}\rVert}\]

2. Чтобы найти значение тангенса угла между плоскостью ada1 и плоскостью, проходящей через середины ребер ad, a1d1 и cc1, мы сначала найдем нормали обеих плоскостей.

Нормаль плоскости ada1 можно найти, используя векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости:
\[\vec{n}_{ada1} = \vec{ad} \times \vec{aa1}\]

Нормаль плоскости, проходящей через середины ребер ad, a1d1 и cc1, можно найти аналогичным образом, используя векторное произведение двух векторов:
\[\vec{n}_{middles} = \vec{am} \times \vec{ac1}\]

Теперь у нас есть две нормали плоскостей. Мы можем найти значение косинуса угла между ними, используя формулу для косинуса угла между двумя векторами:
\[\cos(\angle \text{между плоскостями}) = \frac{\vec{n}_{ada1} \cdot \vec{n}_{middles}}{\lVert\vec{n}_{ada1}\rVert \cdot \lVert\vec{n}_{middles}\rVert}\]

Так как мы ищем значение тангенса, мы можем использовать тригонометрическую тождественность:
\[\tan(\angle \text{между плоскостями}) = \frac{\sqrt{1 - \cos^2(\angle \text{между плоскостями})}}{\cos(\angle \text{между плоскостями})}\]

3. Для начала, найдем высоту наклонной призмы abca1b1c1. По определению, высота призмы - это расстояние между двумя плоскостями оснований. В данном случае, это длина бокового ребра, так как боковое ребро является прямой, перпендикулярной плоскостям оснований. Таким образом, высота призмы равна 1.

Теперь, чтобы найти значение синуса угла наклона бокового ребра к плоскости основания, мы можем использовать соотношение "противолежащий катет делить на гипотенузу":
\[\sin(\text{угол наклона}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\]

В данном случае, противолежащим катетом является высота призмы (3), а гипотенузой является боковое ребро призмы (1). Таким образом, значение синуса угла наклона будет:
\[\sin(\text{угол наклона}) = \frac{3}{1} = 3\]

4. Для начала, заметим, что угол между плоскостями baa1 и cb1b1 равен углу между нормалями этих плоскостей. Поэтому мы можем найти угол между плоскостями, найдя угол между нормалями плоскостей baa1 и cb1b1.

Нормаль к плоскости baa1 можно найти с помощью векторного произведения ее направляющих векторов baa1 и bba1:
\[\vec{n}_{baa1} = \vec{baa1} \times \vec{bba1}\]

Аналогичным образом мы можем найти нормаль к плоскости cb1b1, используя векторное произведение векторов ccb1 и cb1b1:
\[\vec{n}_{cb1b1} = \vec{ccb1} \times \vec{cb1b1}\]

Теперь у нас есть две нормали плоскостей. Мы можем найти значение косинуса угла между ними, используя формулу для косинуса угла между двумя векторами:
\[\cos(\angle \text{между плоскостями}) = \frac{\vec{n}_{baa1} \cdot \vec{n}_{cb1b1}}{\lVert\vec{n}_{baa1}\rVert \cdot \lVert\vec{n}_{cb1b1}\rVert}\]

Теперь, чтобы найти значение угла между плоскостями baa1 и cb1b1, мы можем использовать функцию обратного косинуса:
\[\angle \text{между плоскостями} = \arccos(\cos(\angle \text{между плоскостями}))\]