1) Найдите восьмой элемент и сумму первых восьми элементов арифметической прогрессии (a), если a = 1 и d

1) Для нахождения восьмого элемента арифметической прогрессии (a) с заданными значениями \(a = 1\) и \(d = 4\), мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Где \(a_n\) - n-ый элемент прогрессии, \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, \(n\) - номер элемента прогрессии, который мы хотим найти.

Подставим данные значения в формулу:

\[a_8 = 1 + (8-1) \cdot 4\]
\[a_8 = 1 + 7 \cdot 4\]
\[a_8 = 1 + 28\]
\[a_8 = 29\]

Таким образом, восьмой элемент арифметической прогрессии будет равен 29.

Чтобы найти сумму первых восьми элементов арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Где \(S_n\) - сумма первых n элементов прогрессии.

Подставим данные значения в формулу:

\[S_8 = \frac{8}{2}(1 + 29)\]
\[S_8 = 4 \cdot 30\]
\[S_8 = 120\]

Таким образом, сумма первых восьми элементов арифметической прогрессии будет равна 120.

2) Для нахождения четвёртого элемента геометрической прогрессии (b) с заданными значениями \(b = 3\) и \(q = си\), мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии:

\[b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\]

Где \(b_n\) - n-ый элемент прогрессии, \(b_1\) - первый элемент прогрессии, \(q\) - знаменатель геометрической прогрессии, \(n\) - номер элемента прогрессии, который мы хотим найти.

Подставим данные значения в формулу:

\[b_4 = 3 \cdot си^{(4-1)}\]
\[b_4 = 3 \cdot си^3\]

Таким образом, четвёртый элемент геометрической прогрессии будет равен \(3 \cdot си^3\).

Чтобы найти сумму первых пяти элементов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу суммы геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]

Где \(S_n\) - сумма первых n элементов прогрессии.

Подставим данные значения в формулу:

\[S_5 = \frac{3(си^5 - 1)}{си - 1}\]

Таким образом, сумма первых пяти элементов геометрической прогрессии будет равна \(\frac{3(си^5 - 1)}{си - 1}\).

3) Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии - 64, 32, -16, ... мы можем использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a_1}{1 - q}\]

Где \(S\) - сумма бесконечной геометрической прогрессии, \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(q\) - знаменатель геометрической прогрессии.

Подставим данные значения в формулу:

\[S = \frac{64}{1 - \frac{32}{64}}\]
\[S = \frac{64}{1 - \frac{1}{2}}\]
\[S = \frac{64}{\frac{1}{2}}\]
\[S = 128\]

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии - 64, 32, -16, ... равна 128.

4) Чтобы найти индекс элемента арифметической прогрессии (a), который равен 3,6, с заданными значениями \(a_1 = 2\), \(a_2 = 4\) и \(d = 0,2\), мы можем использовать формулу для нахождения индекса:

\[n = \frac{a - a_1}{d} + 1\]

Где \(n\) - индекс элемента прогрессии, \(a\) - элемент прогрессии, \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Подставим данные значения в формулу:

\[n = \frac{3,6 - 2}{0,2} + 1\]
\[n = \frac{1,6}{0,2} + 1\]
\[n = 8 + 1\]
\[n = 9\]

Таким образом, индекс элемента арифметической прогрессии, который равен 3,6, будет равен 9.

5) Чтобы найти два числа, необходимые для вставки между числами 8 и -64, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию, мы можем использовать формулу для нахождения знаменателя геометрической прогрессии:

\[q = \sqrt[n]{\frac{b}{a}}\]

Где \(q\) - знаменатель геометрической прогрессии, \(n\) - количество чисел между \(a\) и \(b\), \(a\) и \(b\) - данные числа.

Подставим данные значения в формулу:

\[q = \sqrt[3]{\frac{-64}{8}}\]
\[q = \sqrt[3]{-8}\]

Таким образом, два числа, необходимые для вставки между числами 8 и -64, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию, будут равны \(\sqrt[3]{-8}\).

6) Для того чтобы завершить предпоследнее утверждение, недостаточно информации. Пожалуйста, предоставьте больше данных или точнее сформулируйте ваш вопрос.