№1 Найдите стандартное отклонение величины X, заданного частотным распределением: X 2 3 4 5 M 4 1 2 6 Запишите ответ

№1 Для нахождения стандартного отклонения величины X на основе частотного распределения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислим среднее арифметическое значение величины X (X¯¯¯):

\[X¯¯¯ = \frac{{\sum X_i \cdot M_i}}{{\sum M_i}} = \frac{{2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 6}}{{4 + 1 + 2 + 6}} = \frac{{8 + 3 + 8 + 30}}{{13}} = \frac{{49}}{{13}} \approx 3.77\]

2. Вычислим сумму квадратов отклонений каждого значения X от среднего (S):

\[S = \sum \frac{{(X_i - X¯¯¯)^2 \cdot M_i}}{{\sum M_i}} = \frac{{(2 - 3.77)^2 \cdot 4 + (3 - 3.77)^2 \cdot 1 + (4 - 3.77)^2 \cdot 2 + (5 - 3.77)^2 \cdot 6}}{{4 + 1 + 2 + 6}} \approx 1.7715\]

3. Найдём стандартное отклонение (σ) путем извлечения квадратного корня из суммы квадратов отклонений:

\[\sigma = \sqrt{S} = \sqrt{1.7715} \approx 1.33\]

Ответ:
1. X¯¯¯ ≈ 3.77 (округлено до сотых).
2. σ ≈ 1.33 (округлено до сотых).

№2 Для вычисления требуемых статистических характеристик для данного набора данных выполним следующие шаги:

a) Найдем размах (R) - разницу между наибольшим и наименьшим значением в наборе данных:

\[R = \max(t_i) - \min(t_i) = 8.8 - 1.3 = 7.5\]

b) Найдем медиану (Me) - значение, которое находится посередине при упорядочивании данных по возрастанию:

Упорядочим данные по возрастанию: 1.3, 1.8, 3.6, 3.6, 4.3, 4.8, 5.2, 5.3, 5.8, 8.8

Так как в наборе данных содержится четное количество значений (10), медиану найдем как среднее арифметическое двух значений в середине списка:

Me = (4.3 + 4.8) / 2 = 4.55

c) Найдем моду (Mo) - значение, которое встречается наиболее часто в наборе данных:

В данном наборе данных не содержится повторяющихся значений, поэтому мода отсутствует.

d) Вычислим среднее арифметическое (X¯¯¯) - сумму всех значений, деленную на количество значений в наборе данных:

\[X¯¯¯ = \frac{{\sum t_i}}{{n}} = \frac{{4.8 + 1.8 + 5.2 + 8.8 + 5.3 + 3.6 + 4.3 + 1.3 + 3.6 + 5.8}}{{10}} = \frac{{44.3}}{{10}} = 4.43\]

Ответ:
a) Размах (R) ≈ 7.5 (округлено до сотых).
b) Медиана (Me) ≈ 4.55 (округлено до сотых).
c) Мода (Mo) - отсутствует.
d) Среднее арифметическое (X¯¯¯) ≈ 4.43 (округлено до сотых).

№3 Для нахождения дисперсии выборки выполним следующие шаги:

1. Найдем среднее арифметическое выборки (X¯¯¯):

\[X¯¯¯ = \frac{{\sum X_i}}{{n}} = \frac{{26 + 20 + 22 + 25}}{{4}} = \frac{{93}}{{4}} = 23.25\]

2. Найдем отклонение каждого значения в выборке от среднего, возведенное в квадрат (S):

\[S = \frac{{\sum (X_i - X¯¯¯)^2}}{{n}} = \frac{{(26 - 23.25)^2 + (20 - 23.25)^2 + (22 - 23.25)^2 + (25 - 23.25)^2}}{{4}} \approx 5.1875\]

Ответ:
1. Среднее арифметическое выборки (X¯¯¯) = 23.25.
2. Дисперсия выборки ≈ 5.1875.