№1 Найдите стандартное отклонение величины X, заданного частотным распределением: X 2 3 4 5 M 4 1 2 6 Запишите ответ

№1 Для нахождения стандартного отклонения величины X на основе частотного распределения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислим среднее арифметическое значение величины X (X¯¯¯):

$$X¯¯¯=\frac{\sum X_i\cdot M_i}{\sum M_i}=\frac{2\cdot 4+3\cdot 1+4\cdot 2+5\cdot 6}{4+1+2+6}=\frac{8+3+8+30}{13}=\frac{49}{13}\approx 3.77$$

2. Вычислим сумму квадратов отклонений каждого значения X от среднего (S):

$$S=\sum \frac{(X_i-X¯¯¯{)}^2\cdot M_i}{\sum M_i}=\frac{(2-3.77{)}^2\cdot 4+(3-3.77{)}^2\cdot 1+(4-3.77{)}^2\cdot 2+(5-3.77{)}^2\cdot 6}{4+1+2+6}\approx 1.7715$$

3. Найдём стандартное отклонение (σ) путем извлечения квадратного корня из суммы квадратов отклонений:

$$\sigma =\sqrt{S}=\sqrt{1.7715}\approx 1.33$$

Ответ:
1. X¯¯¯ ≈ 3.77 (округлено до сотых).
2. σ ≈ 1.33 (округлено до сотых).

№2 Для вычисления требуемых статистических характеристик для данного набора данных выполним следующие шаги:

a) Найдем размах (R) - разницу между наибольшим и наименьшим значением в наборе данных:

$$R=max(t_i)-min(t_i)=8.8-1.3=7.5$$

b) Найдем медиану (Me) - значение, которое находится посередине при упорядочивании данных по возрастанию:

Упорядочим данные по возрастанию: 1.3, 1.8, 3.6, 3.6, 4.3, 4.8, 5.2, 5.3, 5.8, 8.8

Так как в наборе данных содержится четное количество значений (10), медиану найдем как среднее арифметическое двух значений в середине списка:

Me = (4.3 + 4.8) / 2 = 4.55

c) Найдем моду (Mo) - значение, которое встречается наиболее часто в наборе данных:

В данном наборе данных не содержится повторяющихся значений, поэтому мода отсутствует.

d) Вычислим среднее арифметическое (X¯¯¯) - сумму всех значений, деленную на количество значений в наборе данных:

$$X¯¯¯=\frac{\sum t_i}{n}=\frac{4.8+1.8+5.2+8.8+5.3+3.6+4.3+1.3+3.6+5.8}{10}=\frac{44.3}{10}=4.43$$

Ответ:
a) Размах (R) ≈ 7.5 (округлено до сотых).
b) Медиана (Me) ≈ 4.55 (округлено до сотых).
c) Мода (Mo) - отсутствует.
d) Среднее арифметическое (X¯¯¯) ≈ 4.43 (округлено до сотых).

№3 Для нахождения дисперсии выборки выполним следующие шаги:

1. Найдем среднее арифметическое выборки (X¯¯¯):

$$X¯¯¯=\frac{\sum X_i}{n}=\frac{26+20+22+25}{4}=\frac{93}{4}=23.25$$

2. Найдем отклонение каждого значения в выборке от среднего, возведенное в квадрат (S):

$$S=\frac{\sum (X_i-X¯¯¯{)}^2}{n}=\frac{(26-23.25{)}^2+(20-23.25{)}^2+(22-23.25{)}^2+(25-23.25{)}^2}{4}\approx 5.1875$$

Ответ:
1. Среднее арифметическое выборки (X¯¯¯) = 23.25.
2. Дисперсия выборки ≈ 5.1875.