1) Найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них проехал трассу на 20 минут быстрее, чем другой, и первый

Решение:

1) Пусть \(v_1\) - это скорость первого велосипедиста, а \(v_2\) - скорость второго велосипедиста. Из условия задачи следует, что первый велосипедист проехал трассу на 20 минут быстрее, чем второй. Это можно записать следующим образом:

\[\frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{3}\]

Где \(t_1\) - время, за которое проехал первый велосипедист, а \(t_2\) - время, за которое проехал второй велосипедист.

Также, из условия задачи известно, что первый велосипедист ехал со скоростью, превышающей вторую скорость на 2 км/ч, т.е.:

\[v_1 = v_2 + 2\]

Для решения задачи, нам необходимо найти значения \(v_1\) и \(v_2\). Давайте воспользуемся системой уравнений, составленных на основе данных условия:

\[\begin{cases} \frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{3} \\ v_1 = v_2 + 2 \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом избавления от переменных. Для простоты, воспользуемся методом подстановки.

Исходя из первого уравнения системы, можно сказать, что:

\[t_1 = \frac{t_2}{3}\]

Теперь, подставим это значение во второе уравнение:

\[\frac{t_2}{3}v_2 = v_2 + 2\]

Упростим уравнение:

\[t_2v_2 = 3(v_2 + 2)\]

\[t_2v_2 = 3v_2 + 6\]

\[3v_2 - t_2v_2 = 6\]

\[v_2(3 - t_2) = 6\]

Теперь, если предположить, что \(t_2 \neq 3\), мы можем разделить обе стороны уравнения на \(3 - t_2\):

\[v_2 = \frac{6}{3 - t_2}\]

Теперь у нас есть значение скорости второго велосипедиста \(v_2\). Для нахождения \(v_1\) подставим \(v_2\) в уравнение \(v_1 = v_2 + 2\):

\[v_1 = \frac{6}{3 - t_2} + 2\]

Таким образом, мы нашли выражения для скорости каждого велосипедиста. Осталось только найти значение \(t_2\).

2) В этом случае, первая скорость находится в отношении ко второй скорости через параметр \(x\), равный 20. То есть имеем:

\[\frac{v_1}{v_2} = \frac{20}{x}\]

Из условия задачи известно, что первый велосипедист проехал трассу на 20 минут быстрее, чем второй. Можно записать это следующим образом:

\[\frac{t_1}{t_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}\]

Где \(t_1\) - время, за которое проехал первый велосипедист, а \(t_2\) - время, за которое проехал второй велосипедист.

Из записи \(\frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{3}\), можно сделать вывод, что \(v_1 = 3v_2\).

Теперь, подставим это значение \(v_1\) в уравнение \(\frac{v_1}{v_2} = \frac{20}{x}\):

\[\frac{3v_2}{v_2} = \frac{20}{x}\]

\[3 = \frac{20}{x}\]

\[3x = 20\]

\[x = \frac{20}{3}\]

Теперь, используя это значение \(x\), мы можем найти значения \(v_1\) и \(v_2\).

3) В данном случае, первая скорость больше второй скорости на 2 км/ч. То есть:

\(v_1 = v_2 + 2\)

Кроме того, первый велосипедист проехал трассу на 20 минут быстрее, чем второй. То есть:

\(\frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{3}\)

Используя эти условия, мы можем составить систему уравнений:

\[\begin{cases} v_1 = v_2 + 2 \\ \frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{3} \end{cases}\]

Методом подстановки или избавления от переменных, мы можем найти значения \(v_1\) и \(v_2\). При решении этой системы, мы получим значения скорости каждого велосипедиста.

4) В данной задаче, мы предполагаем, что один велосипедист проехал трассу на 20 минут быстрее, чем другой. Для этого случая, нам не хватает всей информации. Мы не знаем скорости велосипедистов и ничего больше об условиях. Поэтому, мы не можем определить скорость каждого велосипедиста без дополнительной информации.