Какой будет шестой член арифметической прогрессии, если сумма первых 17 членов равна 680 и четвертый член известен?

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Представьте себе арифметическую прогрессию, в которой мы должны выяснить шестой член. Возьмем обозначение \( a_1 \) для первого члена прогрессии, а \( d \) для разности между соседними членами.

Шаг 2: Мы знаем, что сумма первых 17 членов прогрессии равна 680. Обозначим сумму как \( S_{17} \). Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии выглядит так:
\[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \]

Шаг 3: Подставим значения, которые мы знаем. В данной задаче у нас \( S_{17} = 680 \) и \( n = 17 \). Мы также знаем, что четвертый член прогрессии составляет \( a_4 \) и он является известным значением.

Шаг 4: Если мы знаем четвертый член прогрессии, мы можем найти первый член, \( a_1 \), с помощью формулы \( a_1 = a_4 - 3d \).

Шаг 5: Подставим известные значения в формулу суммы:

\[ 680 = \frac{17}{2}(2a_1 + (17-1)d) \]

Мы знаем \( a_1 = a_4 - 3d \), поэтому можем переписать формулу:

\[ 680 = \frac{17}{2}(2(a_4 - 3d) + (17-1)d) \]

Шаг 6: Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ 680 = \frac{17}{2}(2a_4 - 6d + 16d - d) \]

\[ 680 = \frac{17}{2}(2a_4 + 9d) \]

Шаг 7: Делим обе стороны уравнения на \( \frac{17}{2} \):

\[ \frac{680}{\frac{17}{2}} = 2a_4 + 9d \]

\[ 80 = 2a_4 + 9d \]

Шаг 8: Выразим \( a_4 \) через \( d \):

\[ 2a_4 = 80 - 9d \]

\[ a_4 = \frac{80 - 9d}{2} \]

Шаг 9: Теперь мы можем выразить \( a_1 \) через \( d \) с помощью \( a_1 = a_4 - 3d \):

\[ a_1 = \frac{80 - 9d}{2} - 3d \]

Шаг 10: Теперь мы можем найти шестой член прогрессии, используя формулу \( a_6 = a_1 + 5d \):

\[ a_6 = \frac{80 - 9d}{2} - 3d + 5d \]

Шаг 11: Упростим это выражение:

\[ a_6 = \frac{80 - 9d}{2} + 2d \]

Шаг 12: Общий шестой член прогрессии будет равен \( a_6 \). Это наш ответ. Можно упростить это выражение дальше, но я оставлю его в этой форме, так как оно и так понятное.

Итак, шестой член арифметической прогрессии составляет \( a_6 = \frac{80 - 9d}{2} + 2d \).