1. Найдите решение уравнения: корень из 3 tg(5pi+2x)=3. 2. Определите корни данного уравнения, которые принадлежат

1. Чтобы найти решение уравнения \(\sqrt{3}\tan(5\pi+2x)=3\), нам нужно сначала избавиться от корня и тригонометрической функции.

Начнем с преобразования тангенса. Мы знаем, что \(\tan(\pi+\theta)=-\tan(\theta)\) для любого угла \(\theta\).

Таким образом, мы можем переписать исходное уравнение следующим образом: \(\sqrt{3}\tan(5\pi+2x)=3 \Rightarrow \sqrt{3}\tan(2x)=-3\).

Затем мы делим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от корня: \(\tan(2x)=-\frac{3}{\sqrt{3}}\).

Теперь мы хотим найти значения \(x\), для которых тангенс равен \(-\frac{3}{\sqrt{3}}\).

Тангенс является отношением синуса к косинусу, поэтому мы можем записать \(\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\) и \(-\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\).

Теперь мы можем использовать тригонометрическую тождества, чтобы привести уравнение к более удобному виду.

Для этого мы можем использовать следующие тождества: \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\) и \(\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

Мы можем переписать уравнение следующим образом: \(\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}=-\frac{3}{\sqrt{3}} \Rightarrow \sin^2(2x)+\cos^2(2x)=\left(-\frac{3}{\sqrt{3}}\right)^2\).

Теперь мы можем использовать тождество \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\) для получения нового уравнения: \(1+\cos^2(2x)=\left(-\frac{3}{\sqrt{3}}\right)^2 \Rightarrow \cos^2(2x)=\frac{9}{3}=\frac{3}{1} \Rightarrow \cos(2x)=\pm\frac{\sqrt{3}}{1}\).

Теперь мы можем решить это уравнение для \(x\).

Если \(\cos(2x)=\frac{\sqrt{3}}{1}\), то \(2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) для целых чисел \(k\).

Если \(\cos(2x)=-\frac{\sqrt{3}}{1}\), то \(2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\) для целых чисел \(k\).

Теперь мы только делаем финальный шаг и находим значения \(x\).

Для первого случая, когда \(2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\), мы делим обе части на 2 и получаем \(x=\frac{\pi}{12}+k\pi\), где \(k\) - целое число.

Для второго случая, когда \(2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), мы делим обе части на 2 и получаем \(x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\), где \(k\) - целое число.

Итак, решение исходного уравнения \(\sqrt{3}\tan(5\pi+2x)=3\) будет \(x=\frac{\pi}{12}+k\pi\) или \(x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\), где \(k\) - целое число.

2. Чтобы найти корни данного уравнения, которые принадлежат отрезку \([\pi, \frac{5\pi}{2}]\), мы должны проверить значения \(x\) в данном интервале.

Подставим \(x=\pi\) и \(x=\frac{5\pi}{2}\) в уравнение \(\sqrt{3}\tan(5\pi+2x)=3\) и посмотрим, подходят ли они.

При \(x=\pi\), уравнение принимает вид \(\sqrt{3}\tan(5\pi+2\pi)=3 \Rightarrow \sqrt{3}\tan(7\pi)=3\).

Однако, для любого угла \(\theta\), \(\tan(\theta+2\pi)=\tan(\theta)\).

Таким образом, \(\sqrt{3}\tan(7\pi)=\sqrt{3}\tan(\pi)=0 \neq 3\).

Следовательно, \(x=\pi\) не является корнем данного уравнения на отрезке \([\pi, \frac{5\pi}{2}]\).

Подставим теперь \(x=\frac{5\pi}{2}\) в уравнение \(\sqrt{3}\tan(5\pi+2x)=3\) и посмотрим, подходит ли он.

При \(x=\frac{5\pi}{2}\), уравнение принимает вид \(\sqrt{3}\tan(5\pi+2\cdot\frac{5\pi}{2})=3 \Rightarrow \sqrt{3}\tan(15\pi)=3\).

Опять же, для любого угла \(\theta\), \(\tan(\theta+2\pi)=\tan(\theta)\).

Таким образом, \(\sqrt{3}\tan(15\pi)=\sqrt{3}\tan(\pi)=0 \neq 3\).

Следовательно, \(x=\frac{5\pi}{2}\) также не является корнем данного уравнения на отрезке \([\pi, \frac{5\pi}{2}]\).

Таким образом, на отрезке \([\pi, \frac{5\pi}{2}]\) нет корней для данного уравнения.