1) Найдите размеры прямоугольника, если его площадь равна 91 квадратному метру, а одна сторона больше другой

Конечно, вот пошаговое решение задач:

1) Пусть длина прямоугольника равна \(х\) метрам, тогда его ширина будет равна \(х - 6\) метрам. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна 91 квадратному метру. Следовательно, у нас есть уравнение:
\[x(x-6) = 91\]
Раскроем скобки:
\[x^2 - 6x = 91\]
Перенесем все в левую часть уравнения и приведем его к виду квадратного уравнения:
\[x^2 - 6x - 91 = 0\]
Теперь найдем корни этого уравнения. Мы будем использовать формулу квадратного уравнения:
\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4*1*(-91)}}{2*1}\]
\[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 364}}{2}\]
\[x = \frac{6 \pm \sqrt{400}}{2}\]
\[x = \frac{6 \pm 20}{2}\]
\[x_1 = \frac{6 + 20}{2} = 13\]
\[x_2 = \frac{6 - 20}{2} = -7\]
Так как размеры не могут быть отрицательными, отбросим отрицательный корень. Итак, длина прямоугольника \(x\) равна 13 метрам, ширина \(x - 6\) равна 7 метрам.

2) Для создания квадратного уравнения с корнями 3 и \(\frac{2}{3}\) мы можем использовать следующую формулу:
\[(x - 3)(x - \frac{2}{3}) = 0\]
Раскроем скобки:
\[x^2 - 3x - \frac{2}{3}x + 2 = 0\]
\[x^2 - \frac{11}{3}x + 2 = 0\]
Чтобы преобразовать уравнение так, чтобы все коэффициенты стали целыми числами, мы можем умножить уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:
\[3x^2 - 11x + 6 = 0\]
Таким образом, квадратное уравнение, корнями которого являются 3 и \(\frac{2}{3}\), преобразованное так, чтобы все коэффициенты стали целыми числами, выглядит как \(3x^2 - 11x + 6 = 0\).