1. Найдите производную функции: a) Какова производная функции f(x)=8x^(7 )-x^9/9+πx^3-1? b) Какова производная функции

Задача 1. Найдите производную функции:
a) Для нахождения производной функции \(f(x) = 8x^{7}-\frac{x^{9}}{9}+\pi x^{3}-1\) используем правила дифференцирования. Применяем правило степенной функции, где \(n\) - показатель степени:
\[f"(x) = 8 \cdot 7x^{7-1} - \frac{1}{9}x^{9-1} + \pi \cdot 3x^{3-1}\]
\[f"(x) = 56x^{6} - \frac{1}{9}x^{8} + 3\pi x^{2}\]

b) Функцию \(f(x) = (4x-5)\sqrt{x}\) можно представить в виде композиции двух функций: \(f(x) = g(h(x))\), где \(g(u) = (4u-5)\) и \(h(x) = \sqrt{x}\). Применим правило дифференцирования сложной функции:
\[f"(x) = g"(h(x)) \cdot h"(x)\]
Дифференцируем функцию \(g(u)\):
\[g"(u) = 4\]
Дифференцируем функцию \(h(x)\):
\[h"(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Теперь можем вычислить производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = g"(h(x)) \cdot h"(x)\]
\[f"(x) = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}}\]

c) Найдем производную функции \(f(x) = \frac{x^{3}-1}{x}\):
Для начала раскроем скобки и сократим рациональную дробь:
\[f(x) = \frac{x^{3}-1}{x} = x^{2} - \frac{1}{x}\]
Применяем правило дифференцирования:
\[f"(x) = 2x - \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = 2x + \frac{1}{x^{2}}\]

d) Для нахождения производной функции \(f(x) = \tan^{3}(4x)\) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Производная тангенса равна:
\[\left(\tan(x)\right)" = \sec^{2}(x)\]
Тогда производная функции \(f(x)\) будет равна:
\[f"(x) = 3\tan^{2}(4x) \cdot \left(\tan(4x)\right)" = 3\tan^{2}(4x) \cdot \sec^{2}(4x)\]

Задача 2. Составьте уравнение касательной к графику функции \(f(x) = 2x^{3}+2x\) в точке с абсциссой \(x_{0} = -1\):
Для нахождения уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой \(x_{0}\), требуется найти производную функции и подставить значения \(x_{0}\) и \(f"(x_{0})\) в уравнение прямой, которое имеет вид \(y = kx + b\), где \(k\) - угловой коэффициент, а \(b\) - свободный член.
Находим производную функции:
\[f"(x) = 6x^{2} + 2\]
Подставляем значения в уравнение касательной:
\[y = f"(x_{0}) \cdot (x-x_{0}) + f(x_{0})\]
\[y = (6x_{0}^{2} + 2) \cdot (x-x_{0}) + f(x_{0})\]
\[y = (6(-1)^{2} + 2) \cdot (x-(-1)) + f(-1)\]
\[y = 8(x + 1) + f(-1)\]
\[y = 8x + 8 + f(-1)\]
Уравнение касательной имеет вид \(y = 8x + C\), где \(C = 8 + f(-1)\) - координата на оси \(y\).

Задача 3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону \(s\) измеряется в метрах, время \(t\) – в секундах). Какая скорость движения материальной точки в момент времени \(t\)?
Скорость материальной точки определяется производной функции \(s(t)\) по времени \(t\), то есть \(v(t) = s"(t)\).
Дано уравнение для \(s(t)\), по которому можно найти \(v(t)\):
\[s(t) = 3t^{2} - 2t + 1\]
\[v(t) = s"(t)\]
Применяем правило дифференцирования:
\[v(t) = 6t - 2\]
Скорость движения материальной точки в момент времени \(t\) равна \(6t - 2\).

Задача 4. Найдите уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^{2}-5x+3\), если эта касательная проходит через точку с абсциссой \(x_{0} = 2\):
Для нахождения уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой \(x_{0}\), требуется найти производную функции и подставить значения \(x_{0}\) и \(f"(x_{0})\) в уравнение прямой \(y = kx + b\).
Находим производную функции:
\[f"(x) = 2x - 5\]
Подставляем значения в уравнение касательной:
\[y = f"(x_{0}) \cdot (x-x_{0}) + f(x_{0})\]
\[y = (2x_{0} - 5) \cdot (x-x_{0}) + f(x_{0})\]
\[y = (2 \cdot 2 - 5) \cdot (x-2) + f(2)\]
\[y = (4 - 5) \cdot (x-2) + f(2)\]
\[y = - (x-2) + f(2)\]
\[y = -x + 2 + f(2)\]
\[y = -x + C\]
Уравнение касательной имеет вид \(y = -x + C\), где \(C = 2 + f(2)\) - координата на оси \(y\).