Какие многочлены p и q, если их сумма равна квадрату числа 2, а их разность является многочленом (-4х в кубе)?

Для решения этой задачи нам нужно найти два многочлена p(x) и q(x), такие что их сумма равна квадрату числа 2, а разность является многочленом -4x^3.

Пусть p(x) = ax^2 + bx + c и q(x) = dx^2 + ex + f, где a, b, c, d, e и f - неизвестные коэффициенты.

Исходя из условий задачи, у нас есть два уравнения:

p(x) + q(x) = (ax^2 + bx + c) + (dx^2 + ex + f) = 2^2 = 4 (Уравнение 1)
p(x) - q(x) = (ax^2 + bx + c) - (dx^2 + ex + f) = -4x^3 (Уравнение 2)

Рассмотрим уравнение 1. В левой части у нас сумма двух многочленов, а в правой части - квадрат числа 2. Раскроем скобки и сгруппируем одинаковые степени переменной x:

(ax^2 + dx^2) + (bx + ex) + (c + f) = 4

Следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в трех скобках должны равняться соответствующим коэффициентам в уравнении 4.

Теперь рассмотрим уравнение 2. В левой части у нас разность двух многочленов, a в правой части у нас -4x^3. Раскроем скобки и сгруппируем одинаковые степени переменной x:

(ax^2 - dx^2) + (bx - ex) + (c - f) = -4x^3

Снова, коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в трех скобках должны равняться соответствующим коэффициентам в уравнении -4x^3.

Теперь мы можем записать систему уравнений на коэффициенты многочленов p(x) и q(x):

\[
\begin{align*}
a + d &= 0 &(1)\\
b - e &= 0 &(2)\\
c + f &= 4 &(3)\\
c - f &= 0 &(4)
\end{align*}
\]

Из уравнений (4) и (3) следует, что c = f = 2.

Теперь, заметив, что уравнения (1) и (2) имеют структуру a + d = 0 и b - e = 0, можно предположить, что a = -d и b = e.

Таким образом, полагая, что a = -d и b = e, уравнения (1) и (2) превращаются в:

\[
\begin{align*}
a - a &= 0 &(1")\\
b - b &= 0 &(2")
\end{align*}
\]

Так как данные уравнения всегда верны, коэффициенты многочленов p(x) и q(x) могут быть выбраны произвольно, при условии, что c = f = 2.

Итак, мы получаем, что многочлены p(x) и q(x), удовлетворяющие условиям задачи, имеют вид:

\[
p(x) = ax^2 + bx + 2
\]

\[
q(x) = -ax^2 - bx + 2
\]

где a и b - произвольные коэффициенты.