1) Найдите длину AD в прямоугольнике ABCD (см. рисунок 3), если CD равно 9, K является серединой BC, и AE равно

Давайте начнем с первой задачи.

1) В данной задаче мы имеем прямоугольник ABCD, где CD имеет длину 9, K является серединой стороны BC, а отрезок AE имеет длину 10. Мы должны найти длину AD.

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать свойства прямоугольника.

Заметим, что прямоугольник ABCD является параллелограммом, поэтому его противоположные стороны равны. Таким образом, AB равно CD и AD равно BC.

Так как CD равно 9, то AB также равно 9.

Поскольку K является серединой стороны BC, мы можем сказать, что BK равно KC. Также, поскольку AE равно 10, мы можем сказать, что AB равно BE.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABK. В этом треугольнике сторона AB равна 9, а сторона BK равна BE, так как K является серединой стороны BC. Таким образом, длина стороны BK равна 9/2 = 4.5.

Так как AD равно BC, а BC равно 2BK, мы можем сказать, что AD равно 2 * 4.5 = 9.

Итак, длина AD равна 9 см.

2) Перейдем к второй задаче.

В треугольнике ABC точка M является серединой стороны AB, а точка N является серединой стороны BC. Мы должны найти площадь четырехугольника AMNC.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства серединных перпендикуляров в треугольнике.

Заметим, что точка M является серединой стороны AB. Так как M является серединой, AM равно MB.

Аналогично, точка N является серединой стороны BC, поэтому BN равно NC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике AM равно MB, а BN равно NC. Значит, треугольник AMN является треугольником равных сторон.

Так как треугольник AMN равносторонний, у него равны все стороны и углы. Поэтому площадь треугольника AMN можно вычислить с помощью следующей формулы:

\[\text{Площадь треугольника AMN} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times AM^2\]

Так как AM равно MB, можно заменить AM^2 на MB^2. Поскольку AM равно MB, площадь треугольника AMN мы можем записать как:

\[\text{Площадь треугольника AMN} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times MB^2\]

Так как AM равно MB, площадь четырехугольника AMNC равна удвоенной площади треугольника AMN:

\[\text{Площадь четырехугольника AMNC} = 2 \times \text{Площадь треугольника AMN}\]

Подставляем значение площади треугольника AMN:

\[\text{Площадь четырехугольника AMNC} = 2 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times MB^2\right)\]

Таким образом, площадь четырехугольника AMNC равна \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times MB^2\).