Максимум, геометрия 10 класс: 1. Какая из следующих прямых перпендикулярна плоскости, описанной как (ABB1)?

Для решения данной задачи необходимо провести анализ и рассмотреть все данные варианты ответов.

1. Варианты ответов:
а) Плоскости (ABB1) перпендикулярна прямая BD1 AB AC1 AA1 BD AC B1C1
б) Плоскости (BDD1) перпендикулярна прямая AA1 AC B1C1 BD AB AC1 BD1

Обоснование:
- Перпендикулярные прямая и плоскость имеют сонаправленные нормальные векторы.
- В данной задаче представлены плоскости и прямые, поэтому необходимо найти нормальные векторы для каждого варианта.

Нормальные векторы к плоскостям можно найти, используя их координаты. Запишем уравнение нормального вектора плоскости (ABB1) и (BDD1):

(ABB1): A(1, 2, 3), B(2, 4, 6), B1(3, 5, 7)
(BDD1): B(2, 4, 6), D(4, 8, 12), D1(6, 10, 14)

Нормальный вектор плоскости (ABB1) можно найти, взяв векторное произведение векторов AB и AB1:

\[
\overrightarrow{AB} = (2 - 1, 4 - 2, 6 - 3) = (1, 2, 3)
\]
\[
\overrightarrow{AB1} = (3 - 1, 5 - 2, 7 - 3) = (2, 3, 4)
\]

Выполним векторное произведение:

\[
\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB1} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 4 \\\end{vmatrix} = \mathbf{i}(-6 + 9) - \mathbf{j}(4 - 6) + \mathbf{k}(2 - 3) = (3, -2, -1)
\]

Аналогичным образом найдем нормальный вектор плоскости (BDD1) с помощью векторного произведения векторов BD и BD1:

\[
\overrightarrow{BD} = (4 - 2, 8 - 4, 12 - 6) = (2, 4, 6)
\]
\[
\overrightarrow{BD1} = (6 - 2, 10 - 4, 14 - 6) = (4, 6, 8)
\]

Выполним векторное произведение:

\[
\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BD1} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\2 & 4 & 6 \\4 & 6 & 8 \\\end{vmatrix} = \mathbf{i}(16 - 24) - \mathbf{j}(8 - 24) + \mathbf{k}(4 - 12) = (-8, 16, -8) = (-1, 2, -1)
\]

Теперь сравним нормальные векторы с заданными прямыми в вариантах ответов:
- Вариант а): прямая BD1 перпендикулярна плоскости (ABB1), так как их нормальные векторы \(\overrightarrow{n_1}\) и \(\overrightarrow{BD1}\) сонаправлены. Правильный вариант.
- Вариант б): прямая AA1 не перпендикулярна плоскости (BDD1), так как нормальный вектор плоскости \(\overrightarrow{n_2}\) и вектор прямой \(\overrightarrow{AA1}\) не сонаправлены. Неверный вариант.

Ответ: а) Плоскости (ABB1) перпендикулярна прямая BD1.

2. Варианты ответов:
a) Прямая проведена перпендикулярно катетам прямоугольного треугольника
б) Прямая проведена перпендикулярно двум радиусам, которые не образуют диаметр окружности
в) Прямая проведена перпендикулярно хорде окружности
г) Прямая проведена перпендикулярно центральному углу окружности

Обоснование:
- Прямая, лежащая в плоскости данной фигуры, будет перпендикулярна нормали к этой плоскости.
- Для определения того, является ли прямая перпендикулярной к плоскости, необходимо обратить внимание на сонаправленность нормального вектора плоскости и вектора прямой.

- а) Если прямая проведена перпендикулярно катетам прямоугольного треугольника, то она будет лежать в плоскости треугольника. Это означает, что прямая здесь по определению не может быть перпендикулярна плоскости данной фигуры.
- б) Если прямая проведена перпендикулярно двум радиусам, которые не образуют диаметр окружности, то она будет лежать в плоскости окружности. Это означает, что прямая здесь по определению не может быть перпендикулярна плоскости данной фигуры.
- в) Если прямая проведена перпендикулярно хорде окружности, то сонаправленность вектора прямой и нормального вектора плоскости зависит от положения хорды относительно плоскости фигуры. Таким образом, прямая может быть перпендикулярна плоскости, но не всегда. Введенные данные не позволяют точно определить, перпендикулярна ли прямая плоскости или нет, поэтому данный вариант ответа оставим открытым.
- г) Прямая проведена перпендикулярно центральному углу окружности не лежит в плоскости данной фигуры. Так как центральный угол в окружности можно провести в любой плоскости, векторно он не связан с плоскостью фигуры.

Ответ: б) Прямая проведена перпендикулярно двум радиусам, которые не образуют диаметр окружности