1) Какую работу нужно выполнить, чтобы повернуть контур на 90° вокруг оси, если его диаметр перпендикулярен направлению

Для решения первой задачи нам понадобится использовать формулу для вычисления магнитного момента текущего контура, обусловленного магнитным полем:

\[ \vec{M} = \vec{I} \times \vec{A} \]

где:
\(\vec{M}\) - магнитный момент контура,
\(\vec{I}\) - ток, протекающий по контуру,
\(\vec{A}\) - площадь контура.

Для данной задачи известно, что радиус контура равен 5 см, а ток составляет 1 А. Площадь контура можно вычислить, зная его радиус \(R\):

\[ A = \pi R^2 \]

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[ \vec{M} = 1\,А \times \pi \times (0,05\,м)^2 \]

Так как радиус перпендикулярен направлению магнитного поля, магнитный момент будет равен:

\[ \vec{M} = 1\,А \times \pi \times (0,05\,м)^2 \times \vec{e} \]

где \(\vec{e}\) - единичный вектор, перпендикулярный радиусу контура.

Чтобы повернуть контур на 90° вокруг оси, нужно приложить механическую работу. Для этого мы должны учесть изменение потенциальной энергии магнитного момента при повороте.

Механическая работа, \(W\), может быть вычислена как произведение скалярного произведения магнитного момента и угла, на который контур был повёрнут:

\[ W = \vec{M} \cdot \Delta \Theta \]

где:
\(W\) - механическая работа,
\(\vec{M}\) - магнитный момент контура,
\(\Delta \Theta\) - угол поворота контура.

В данном случае, угол поворота контура равен 90°. Подставляя известные значения, получим:

\[ W = (1\,А \times \pi \times (0,05\,м)^2 \times \vec{e}) \cdot \frac{\pi}{2} \]

Итак, механическая работа, необходимая для поворота контура на 90° вокруг оси, равна \(W = (1\,А \times \pi \times (0,05\,м)^2 \times \vec{e}) \cdot \frac{\pi}{2}\).

Перейдем ко второй задаче. Чтобы найти среднюю электродвижущую силу (ЭДС) в контуре, мы можем использовать закон Фарадея, который устанавливает, что индуцированная ЭДС пропорциональна скорости изменения магнитного потока внутри контура:

\[ \mathcal{E} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \]

где:
\(\mathcal{E}\) - индуцированная ЭДС,
\(\Delta \Phi\) - изменение магнитного потока,
\(\Delta t\) - время изменения магнитного потока.

Магнитный поток \(\Phi\) определяется как произведение магнитной индукции поля \(\vec{B}\) и площади контура \(\vec{A}\):

\[ \Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} \]

Для данной задачи известно, что индуцированный поворот контура выполняется за 6 секунд, а напряженность магнитного поля составляет 10 кА/м. Подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[ \mathcal{E} = -\frac{\Delta(\vec{B} \cdot \vec{A})}{\Delta t} = -\frac{\vec{B} \cdot \Delta \vec{A}}{\Delta t} \]

Так как контур выполнил поворот на 90°, изменение площади контура может быть выражено как \(\Delta \vec{A} = \vec{A}\) (векторная величина). Тогда:

\[ \mathcal{E} = -\frac{\vec{B} \cdot \vec{A}}{\Delta t} \]

Чтобы найти среднюю ЭДС, мы можем просто поделить индуцированную ЭДС на время поворота:

\[ \text{Средняя ЭДС} = \frac{\mathcal{E}}{\Delta t} \]

Подставляя известные значения, получим:

\[ \text{Средняя ЭДС} = -\frac{\vec{B} \cdot \vec{A}}{\Delta t} \div \Delta t\]

То есть, средняя ЭДС, индуцированная в контуре при повороте на 90° за 6 секунд, равна: \(\text{Средняя ЭДС} = -\frac{\vec{B} \cdot \vec{A}}{\Delta t} \div \Delta t\)