1) Какую форму образуют точки a(−2; 0; 0), b(−1; 2; 3), c(1; 1; −3) и d(0; −1; −1)? 2) Какие точки из a(1; 1; 1), b(−1

Давайте пошагово решим каждую задачу.

1) Чтобы узнать, какую форму образуют данные точки, нам нужно проверить, что все стороны квадрата или прямоугольника равны и все углы прямые.

Первым шагом найдем расстояния между всеми парами точек:

\[AB = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}\]

\[AC = \sqrt{(x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2 + (z_c - z_a)^2}\]

\[AD = \sqrt{(x_d - x_a)^2 + (y_d - y_a)^2 + (z_d - z_a)^2}\]

\[BC = \sqrt{(x_c - x_b)^2 + (y_c - y_b)^2 + (z_c - z_b)^2}\]

\[BD = \sqrt{(x_d - x_b)^2 + (y_d - y_b)^2 + (z_d - z_b)^2}\]

\[CD = \sqrt{(x_d - x_c)^2 + (y_d - y_c)^2 + (z_d - z_c)^2}\]

Теперь найдем значения всех этих расстояний:

\[AB = \sqrt{((-1) - (-2))^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}\]

\[AC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - 0)^2 + ((-3) - 0)^2} = \sqrt{9 + 1 + 9} = \sqrt{19}\]

\[AD = \sqrt{(0 - (-2))^2 + ((-1) - 0)^2 + ((-1) - 0)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\]

\[BC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 2)^2 + ((-3) - 3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 36} = \sqrt{41}\]

\[BD = \sqrt{(0 - (-1))^2 + ((-1) - 2)^2 + ((-1) - 3)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}\]

\[CD = \sqrt{(0 - 1)^2 + ((-1) - 1)^2 + ((-1) - 3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9}\]

Теперь проверим условие равенства сторон и прямых углов:

AB = AC = AD = BC = BD = CD = \(\sqrt{14}\) = \(\sqrt{19}\) = \(\sqrt{6}\) = \(\sqrt{41}\) = \(\sqrt{26}\) = \(\sqrt{9}\)

Таким образом, точки a, b, c и d образуют квадрат.

2) Для того чтобы определить вершины куба, нужно убедиться, что расстояния между всеми парами точек одинаковы.

Найдем все расстояния между заданными точками:

\[AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4} = 2\]

\[AC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

\[AD = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

\[BC = \sqrt{((-1) - (-1))^2 + ((-1) - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4} = 2\]

\[BD = \sqrt{((-1) - (-1))^2 + ((-1) - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

\[CC_1 = \sqrt{((-1) - (-1))^2 + ((-1) - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

\[CB_1 = \sqrt{((-1) - (-1))^2 + ((-1) - 1)^2 + ((-1) - (-1))^2} = \sqrt{4} = 2\]

\[C_1D = \sqrt{((-1) - 1)^2 + ((-1) - (-1))^2 + ((-1) - (-1))^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

Теперь убедимся, что все расстояния равны:

AB = AC = AD = BC = BD = CC_1 = CB_1 = C_1D = 2

Таким образом, точки a, b и c являются вершинами заданного куба.

3) Теперь рассмотрим следующий куб abcda1b1c1d1 и определим, какие из данных точек являются его вершинами.

Вершины куба определяются путем добавления единицы координате одной из вершин предыдущего куба.

Для каждой заданной точки мы должны проверить, существует ли соответствующая ей вершина в новом кубе.

Вершины нового куба abcda1b1c1d1 будут иметь следующие координаты:

a1(x_a + 1, y_a + 1, z_a + 1) = (-2 + 1, 0 + 1, 0 + 1) = (-1, 1, 1)

b1(x_b + 1, y_b + 1, z_b + 1) = (-1 + 1, 2 + 1, 3 + 1) = (0, 3, 4)

c1(x_c + 1, y_c + 1, z_c + 1) = (1 + 1, 1 + 1, -3 + 1) = (2, 2, -2)

d1(x_d + 1, y_d + 1, z_d + 1) = (0 + 1, -1 + 1, -1 + 1) = (1, 0, 0)

Таким образом, из заданных точек вершинами куба abcda1b1c1d1 являются a1(-1, 1, 1) и d1(1, 0, 0).