Чему равна длина стороны треугольника, если угол напротив нее составляет 45 градусов, а радиус описанной окружности

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать свойства описанной окружности треугольника.

Один из таких результатов гласит, что угол, образованный хордой на окружности, равен половине угла, который он подразумевает, когда расположен в центре окружности.

Таким образом, если треугольник имеет угол напротив стороны, равный 45 градусам, а окружность описана вокруг треугольника, то угол в центре окружности, соответствующий данной стороне треугольника, будет равен 90 градусам.

Поскольку у треугольника равносторонняя окружность может описываться только вокруг прямоугольного треугольника, мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников для нахождения длины стороны.

В прямоугольном треугольнике, у которого гипотенуза равна радиусу описанной окружности, а один из катетов равен длине стороны треугольника, справедлива уже известная нам формула Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - гипотенуза, а \(a\) и \(b\) - катеты.

Так как один из катетов равен длине стороны треугольника, а гипотенуза равна радиусу описанной окружности, мы можем записать уравнение следующим образом: \(r^2 = a^2 + a^2\) или \(r^2 = 2a^2\).

Данное уравнение позволяет нам выразить длину стороны треугольника через радиус описанной окружности: \(a = \sqrt{\frac{r^2}{2}}\).

Итак, для нахождения длины стороны треугольника, имея значение радиуса описанной окружности, мы должны возвести радиус в квадрат, разделить полученное значение на 2 и извлечь квадратный корень из этого результата.

Например, если радиус описанной окружности равен 5 единицам, то длина стороны треугольника будет равна: \(a = \sqrt{\frac{5^2}{2}} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3.54\) единицы.

Таким образом, длина стороны треугольника при заданных условиях составляет примерно 3.54 единицы.