В правильной четырехугольной пирамиде, сторона основания равна корню из 2, а длина боковых ребер равна 2. Найдите угол

Для начала рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду, у которой сторона основания равна \(\sqrt{2}\).

Так как пирамида правильная, то все ее боковые грани равновелики и равносторонние треугольники. Пусть \(ABC\) - основание пирамиды, а \(P\) - вершина.

Обозначим точку середины бокового ребра \(BP\) как \(M\), а точку пересечения высоты пирамиды, опущенной из точки \(P\) на основание, как \(H\).

Так как сторона основания \(AB = \sqrt{2}\), а боковое ребро \(BP = 2\), то, применяя теорему Пифагора в треугольниках \(BPM\) и \(MPH\), получим:

\[\begin{align*}
BM^2 &= BP^2 - PM^2 \\
&= 2^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \\
&= 4 - \frac{2}{2} \\
&= 4 - 1 \\
&= 3
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
PH^2 &= PM^2 + HM^2 \\
&= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\
&= \frac{2}{4} + \frac{3}{4} \\
&= \frac{5}{4}
\end{align*}\]

Пусть угол между боковым ребром \(BP\) и непринадлежащим ему боковыми ребрами равен \(\alpha\).

Тогда в треугольнике \(PBM\), с учетом результата из предыдущего расчета, можно записать:

\(\cos(\alpha) = \frac{BM}{BP} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Отсюда получаем значение угла \(\alpha\):

\(\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 30^\circ\)

Таким образом, угол между непринадлежащими одной грани боковыми ребрами равен примерно \(30^\circ\).