1) Какой угол AQO, если ∠APH=135∘ и угол C равен 40, в остроугольном треугольнике ABC с ортоцентром H, центром

Давайте начнем с решения первой задачи:

У нас есть остроугольный треугольник ABC с ортоцентром H, центром описанной окружности O и точками пересечения лучей BH и CO в точке P, а лучей CH и BO в точке Q.

Мы знаем, что угол ∠APH равен 135∘ и угол C равен 40∘. Нам нужно найти угол AQO.

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся некоторыми геометрическими свойствами остроугольных треугольников и описанных окружностей.

1. Во-первых, давайте рассмотрим треугольник ABC. У него есть следующие свойства:
- Угол в центре окружности (то есть угол BOA) в два раза больше любого угла, образованного этой окружностью на окружности (то есть угол BCA).
- Угол в описанном треугольнике (то есть угол BAC) равен половине угла, образованного этой окружностью на окружности (то есть угол BOA).
- Сумма углов треугольника равна 180∘.

2. Теперь рассмотрим точки пересечения лучей BH и CO в точке P. Если мы соединим эти точки с вершиной А, получим равнобедренный треугольник APH с углом ∠APH = 135∘. Опять же, используя свойство о углах в центре и углах в описанном треугольнике, мы можем заключить, что угол ∠APQ равен половине угла BCA.

Теперь, чтобы найти угол AQO, нам нужно найти угол QAP.

3. Рассмотрим правильный треугольник BOC. В нем каждый угол равен 60∘. Так как угол C равен 40∘, угол QOB равен 20∘ (так как угол COB = 80∘).

4. Теперь, зная углы APQ (половина угла BCA) и QOB, мы можем вычислить угол QAP.

Угол QAP = (угол QOB + угол BCA)/2 = (20∘ + 40∘)/2 = 60∘.

5. Угол AQO - это угол BAO (или BOA) минус угол QAP.
Угол BAO (или BOA) - угол в центре окружности, угол AQO - угол в описанном треугольнике.

Таким образом, чтобы найти угол AQO, нам нужно вычислить 180∘ минус угол QAP.

Угол AQO = 180∘ - 60∘ = 120∘.

Итак, угол AQO равен 120∘.

Перейдем к решению второй задачи:

У нас есть треугольник ABC, и на его сторонах BC, CA и AB отмечены точки D, E и F соответственно. Прямые BE и CF пересекаются в точке P. Мы также знаем, что угол FDB равен углу EDC, который равен 10∘, и угол PDE равен 95∘. Нам нужно найти угол PDA.

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся свойствами углов при пересечении прямых.

1. Угол PDA можно найти, рассмотрев треугольник PDE. Мы знаем, что угол PDE = 95∘.
- Сумма углов в треугольнике равна 180∘.
- Так как угол PDE = 95∘, мы можем найти величину угла PED:
угол PED = 180∘ - угол PDE = 180∘ - 95∘ = 85∘.

2. Рассмотрим треугольник BDC. Угол FDB равен углу EDC, который равен 10∘.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
- Таким образом, мы знаем, что угол BDC = угол BCD = 10∘.

3. Рассмотрим треугольник BDP. Этот треугольник имеет три угла: угол FDB, угол BDC и угол PDB (угол PDA).
- Сумма углов в треугольнике равна 180∘.
- Угол FDB = углу EDC = 10∘ (по условию).
- Угол BDC = углу BCD = 10∘ (получено на предыдущем шаге).
- Таким образом, мы можем найти угол PDA:
угол PDA = 180∘ - угол FDB - угол BDC
= 180∘ - 10∘ - 10∘
= 160∘.

Итак, угол PDA равен 160∘.