1) Какой размер стороны вырезанного квадрата должен быть, чтобы из прямоугольного листа жести со сторонами a=500мм

Конечно, я помогу вам с этими задачами!

1) Чтобы определить размер стороны вырезанного квадрата, нужно найти значение стороны, которое даст наибольший объем ящика. Для этого мы можем использовать метод максимизации объема.

Во-первых, давайте выразим объём ящика через размеры сторон вырезанного квадрата. Если сторона квадрата будет равна \(x\), то длина и ширина ящика будут равны \(a-2x\) и \(b-2x\) соответственно. Тогда объём ящика будет равен произведению этих трёх величин:

\[ V = x \cdot (a-2x) \cdot (b-2x) \]

Далее нам нужно найти максимальное значение \(V\), подставляя различные значения \(x\) от 0 до \(\frac{1}{2} \) от значения меньшей стороны листа жести. В данном случае, мы можем использовать значения от 0 до 250 мм, так как \(a=500мм\) и \(b=1200мм\).

Для удобства поиска максимального значения \(V\), можно построить таблицу значений:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & V \\
\hline
0 & 0 \\
50 & 30000000 \\
100 & 192000000 \\
150 & 441000000 \\
200 & 512000000 \\
250 & 375000000 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что при \( x = 200 \) мм достигается максимальное значение объема ящика, равное 512000000 \(\text{мм}^3\). Соответственно, сторона вырезанного квадрата должна быть 200 мм.

2) Чтобы выиграть конкурс, ученику необходимо найти оптимальные размеры основания коробки для заданных условий. Первым шагом давайте разложим данное условие на формулы.

Пусть сторона основания коробки равна \( x \) см, тогда периметр основания будет равен \( 4x \) см, а высота коробки равна 7 см. Объём коробки можно рассчитать, умножив площадь основания на высоту.

\( V = S \cdot h \)

Теперь найдем площадь основания. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому:

\( S = (x \cdot h) = (x \cdot 7) \)

Теперь мы можем записать формулу для объема коробки:

\( V = 7x \)

Зная это, мы можем воспользоваться данным условием и найти оптимальный размер основания, максимизирующий объём коробки. Для этого нужно найти такое значение \( x \), которое даст наибольшее значение \( V \).

В данном случае мы знаем, что периметр равен 32 см, следовательно \(4x = 32\). Раскрываем скобки и находим значение стороны оптимального основания:

\(4x = 32 \Rightarrow x = \frac{32}{4} = 8\)

Таким образом, оптимальный размер основания коробки должен быть 8 см. А объем коробки можно вычислить, подставив найденное значение \(x\) в формулу объема:

\(V = 7x = 7 \cdot 8 = 56\)
(cm^3)

Получаем, что объем коробки равен 56 кубическим сантиметрам.

Надеюсь, я смог помочь вам с решением этих задач! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!