Определите основание пирамиды SABCD - точку пересечения диагоналей квадрата. AB = AS = 14. P ∈ SA, Q ∈ AB, R ∈ BC

а) Для доказательства того, что SD ⊥ (PQR), нам необходимо показать, что вектор SD перпендикулярен вектору, лежащему в плоскости PQR. Для этого мы воспользуемся двумя фактами:

1. Вектор, перпендикулярный плоскости, перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости.
2. Если вектор перпендикулярен двум пересекающимся векторам, то он перпендикулярен плоскости, образованной этими векторами.

Построим параллельную прямую PQ к стороне AD квадрата SABCD. Поскольку SA и AB равны между собой, то PQ также равна 14.

Также из условия задачи мы знаем, что PA = PQ = RC = 3.

Рассмотрим треугольники PQA и RCB. У них общая сторона PQ = 14 и общая сторона RC = 3. Сложив эти стороны, получим AB = 17.

Таким образом, мы видим, что треугольники PQA и RCB имеют общую сторону AB и одну общую сторону PQ, что означает, что они подобны (по принципу "пропорциональные стороны треугольников соответственно пропорциональны").

По свойству перпендикулярности в подобных треугольниках мы знаем, что PQR и PQA тоже перпендикулярны.

Теперь рассмотрим треугольники SDR и PQD. У них общая сторона SD, а стороны PQ и DR параллельны (так как PQ || AD). Следовательно, эти треугольники подобны.

Так как PQD и SDR являются подобными треугольниками, и PQR и PQA являются перпендикулярными треугольниками, мы можем заключить, что SD ⊥ (PQR).

б) Чтобы найти расстояние от точки D до плоскости (PQR), мы можем рассмотреть плоскость, проходящую через точку D и параллельную плоскости (PQR). Пусть эта плоскость обозначается как (XYZ).

Заметим, что плоскость (XYZ) также будет проходить через точки S и B. Это связано с тем, что ребро SB, состоящее из сторон AD и BC квадрата SABCD, должно быть параллельным ребру PQ, так как PQ || AD.

Таким образом, плоскость (XYZ) проходит через точки S, B и D, а значит, это будет плоскость треугольника SBD.

Теперь мы можем найти расстояние от точки D до плоскости (PQR), что будет равно расстоянию от точки D до плоскости треугольника SBD.

У нас есть два вектора, определяющих плоскость треугольника SBD: SB и SD.

Расстояние от точки D до плоскости (PQR) будет равно длине перпендикуляра, опущенного из точки D на эту плоскость, то есть на плоскость треугольника SBD.

Следовательно, чтобы найти расстояние от точки D до плоскости (PQR), нам необходимо найти длину перпендикуляра, опущенного из точки D на плоскость треугольника SBD.