Вариант 1 1. Какова полная поверхность цилиндра, если хорда нижнего основания равна высоте цилиндра и находится

1. Для начала, построим схему задачи:

\[
\begin{align*}
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{/} \\
&\text{\textbar}2\sqrt{7}\text{\textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{\_\_\_\_}\\
\end{align*}
\]

Дано, что хорда нижнего основания равна высоте цилиндра, следовательно, можно обозначить высоту как \(h\) и хорду как \(AB\). Из условия задачи также сказано, что расстояние от центра верхнего основания до концов хорды равно \(4\sqrt{13}\) см. Давайте обозначим это расстояние как \(CB\) и \(CA\).

Из построения можно заметить, что треугольники \(CAB\) и \(CDB\) равны по гипотенузе и катетам, так как \(CB\) равно \(CA\), а \(BD\) равен \(AB\) (хорда). Таким образом, получаем, что треугольники \(ACB\) и \(BDC\) являются прямоугольными и равнобедренными.

\[
\begin{align*}
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{ /} \\
&\text{/} \\
&\text{\textbar}CD = h\text{\textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{ \textbar \textbar}\\
&\text{\_\_\_\_}\\
&\text{\textbar}2\sqrt{7}\text{\textbar}\\
& \text{\textbar} A \text{\textbar}\\
\end{align*}
\]

Так как треугольники \(ACB\) и \(BDC\) равнобедренные, то у них равны основания и углы при основании. Также, у этих треугольников есть общий угол. Обозначим этот угол как \(x\).

Теперь, чтобы найти полную поверхность цилиндра, нужно сложить площади боковой поверхности цилиндра и двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты \(h\) на окружность основания цилиндра. Из задачи известно, что хорда \(AB\) находится на расстоянии \(2\sqrt{7}\) от оси цилиндра. Таким образом, радиус основания равен половине хорды, то есть \(r = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} = \sqrt{7}\). Значит, площадь боковой поверхности равна \(S_\text{бок} = 2 \pi r h\).

Площадь одного основания цилиндра равна площади круга, то есть \(S_\text{кр} = \pi r^2\).

Теперь мы знаем площади боковой поверхности и оснований цилиндра. Полная поверхность цилиндра равна сумме этих площадей:

\[S_\text{полная} = S_\text{бок} + 2 \cdot S_\text{кр}\]

Подставим полученные значения:

\[S_\text{полная} = 2\pi \cdot \sqrt{7} \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot (\sqrt{7})^2\]

Учитывая, что хорда \(AB\) равна высоте цилиндра \(h\), мы можем выразить \(h\) через расстояние \(CB\):

\[CB = 4\sqrt{13} = \sqrt{7} + h\]

Получаем уравнение:

\[h = 4\sqrt{13} - \sqrt{7}\]

Подставим это значение в формулу для полной поверхности цилиндра:

\[S_\text{полная} = 2\pi \cdot \sqrt{7} \cdot (4\sqrt{13} - \sqrt{7}) + 2 \cdot \pi \cdot (\sqrt{7})^2\]

Таким образом, полная поверхность цилиндра равна:

\[S_\text{полная} = 2\pi \cdot \sqrt{7} \cdot (4\sqrt{13} - \sqrt{7}) + 2 \cdot \pi \cdot 7\]

2. Теперь рассмотрим задачу с боковой поверхностью цилиндра и площадью сечения \(s\) и дугой \(a\).

Сначала обозначим высоту цилиндра как \(h\). Также, обозначим радиус основания как \(r\).

Площадь сечения составляет \(s\), а дуга, отсекаемая от окружности основания, равна \(a\). Площадь сечения цилиндра можно выразить через радиус основания и дугу, зная формулу площади сектора \(S = \frac{\pi r^2 \cdot a}{360^\circ}\). Таким образом, \(s = \frac{\pi r^2 \cdot a}{360^\circ}\).

Для нахождения боковой поверхности цилиндра, нужно умножить площадь сечения на высоту: \(S_\text{бок} = s \cdot h\).

Таким образом, боковая поверхность цилиндра равна:

\[S_\text{бок} = \frac{\pi r^2 \cdot a}{360^\circ} \cdot h\]

3. В задаче с объемом цилиндра нам дана площадь развертки боковой поверхности цилиндра \(s\) и угол \(\alpha\), который образуется диагональю прямоугольника (развертки) и одной из его сторон.

Для начала найдем длину диагонали прямоугольника, используя площадь и угол:

\[d = \sqrt{\frac{s}{\cos^2(\alpha)}}\]

Объем цилиндра можно рассчитать, используя площадь развертки боковой поверхности и радиус основания. Для этого найдем высоту цилиндра \(h\), используя формулу:

\[h = \frac{s}{2\pi r}\]

Теперь, зная радиус основания и высоту цилиндра, мы можем найти его объем. Формула объема цилиндра:

\[V = \pi r^2 h\]

Подставим значения:

\[V = \pi r^2 \cdot \frac{s}{2\pi r}\]

Таким образом, объем цилиндра равен:

\[V = \frac{s \cdot r}{2}\]

И это ответ на задачу.

Введите номер задачи, которую хотите решить (от 1 до 3):