1. Какой наименьший угол имеет треугольник со сторонами 14 см, 16 см и 18 см? Укажите ответ в градусах, округленный

Здравствуйте! Давайте решим задачи по очереди.

1. Чтобы найти наименьший угол треугольника, нам нужно использовать закон косинусов. Формула для этого: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника, \(C\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

Применяя эту формулу к треугольнику с длинами сторон 14 см, 16 см и 18 см, мы получим:

\[18^2 = 14^2 + 16^2 - 2 \cdot 14 \cdot 16 \cdot \cos C\]

\[324 = 196 + 256 - 448 \cdot \cos C\]

\[324 = 452 - 448 \cdot \cos C\]

\[448 \cdot \cos C = 452 - 324\]

\[448 \cdot \cos C = 128\]

\[\cos C = \frac{128}{448}\]

Теперь вычислим значение угла \(C\) с использованием арккосинуса:

\[C = \arccos\left(\frac{128}{448}\right)\]

\[C \approx 63.63^\circ\]

Таким образом, наименьший угол треугольника составляет около \(63\) градусов.

2. Чтобы найти расстояние от дома до точки В, нам нужно использовать тангенс угла наблюдения. Тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. В данном случае, отношение расстояний от точки А и точки В до дома даст нам тангенс угла наблюдения.

Пусть \(x\) - расстояние от дома до точки В. Тогда:

\[\tan 45^\circ = \frac{x}{180 - x}\]

\[\frac{1}{1} = \frac{x}{180 - x}\]

\[x = 180 - x\]

\[2x = 180\]

\[x = \frac{180}{2}\]

\[x = 90\]

Таким образом, расстояние от дома до точки В составляет 90 метров.

3. Для нахождения длины диагоналей трапеции, нам пригодится теорема Пифагора. Сначала найдем высоту треугольника, проведенную из вершины А к основанию СD. Для этого мы можем использовать правило, что площадь треугольника равна произведению его высоты на половину длины основания.

Пусть \(h\) - высота треугольника АВС относительно основания СD. Тогда мы можем записать:

\[\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (3 + 15) \cdot h\]

\[5h = 18h\]

\[h = \frac{5}{18} \cdot 10\]

\[h = \frac{50}{18}\]

\[h \approx 2.78\]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин диагоналей. Предположим, что диагонали АС и BD имеют длины \(d_1\) и \(d_2\) соответственно. Тогда мы можем записать:

\[d_1^2 = h^2 + \left(\frac{1}{2}(3-15)\right)^2\]

\[d_1^2 = h^2 + \frac{1}{4} \cdot (-12)^2\]

\[d_1^2 = h^2 + 36\]

\[d_2^2 = h^2 + \left(\frac{1}{2}(3+15)\right)^2\]

\[d_2^2 = h^2 + \frac{1}{4} \cdot 18^2\]

\[d_2^2 = h^2 + \frac{1}{4} \cdot 324\]

Теперь мы можем вычислить значения длин диагоналей:

\[d_1 \approx \sqrt{h^2 + 36}\]
\[d_2 \approx \sqrt{h^2 + \frac{1}{4} \cdot 324}\]

Округляя до десятых, получим:

\[d_1 \approx \sqrt{2.78^2 + 36} \approx 6.1\]
\[d_2 \approx \sqrt{2.78^2 + \frac{1}{4} \cdot 324} \approx 16.7\]

Итак, длины диагоналей трапеции АВСD составляют примерно 6.1 и 16.7 единиц (см, м, и т.д.), соответственно.