Какие значения x следует рассмотреть для определения критических точек функции y=(x-1)^2(x+2)^2?

Для определения критических точек функции нам необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Давайте пошагово выполним эту задачу.

Шаг 1: Найдем первую производную функции y=(x-1)^2(x+2)^2.

Чтобы найти производную функции, применим правило дифференцирования произведения двух функций:
\[
\frac{{d}}{{dx}}f(x)g(x)=f"(x)g(x)+f(x)g"(x),
\]
где f(x) и g(x) - функции, а f"(x) и g"(x) - их производные.

Применяя это правило к функции y=(x-1)^2(x+2)^2, получим:
\[
y"=(2(x-1)(x+2)^2)+(2(x-1)^2(x+2)).
\]

Положим эту производную равной нулю и решим уравнение:
\[
(2(x-1)(x+2)^2)+(2(x-1)^2(x+2))=0.
\]

Шаг 2: Решим полученное уравнение.

Давайте раскроем скобки и упростим уравнение:
\[
2(x-1)(x+2)^2+2(x-1)^2(x+2)=0.
\]
\[
2(x-1)(x+2)[(x+2)+ (x-1)]=0.
\]
\[
2(x-1)(x+2)(2x+1)=0.
\]

Теперь мы можем найти значения x, при которых уравнение равно нулю. Найдем корни уравнения:

1. \(x-1=0\) дает нам x=1.
2. \(x+2=0\) дает нам x=-2.
3. \(2x+1=0\) дает нам x=-0.5.

Таким образом, значения x, которые следует рассмотреть для определения критических точек функции y=(x-1)^2(x+2)^2, равны x=1, x=-2 и x=-0.5.

Надеюсь, эта пошаговая информация позволяет вам полностью понять процесс нахождения критических точек функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется дополнительная помощь, не стесняйтесь обращаться.