1. Какой будет первый член геометрической прогрессии (An), если сумма первых семи членов равна 161,25, а знаменатель

Давайте по очереди решим каждую задачу.

1. Для нахождения первого члена геометрической прогрессии (An) нужно использовать формулу суммы первых n членов:
\[S_n = \frac{{a(1 - r^n)}}{{1 - r}}\]
где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Из условия задачи нам известно, что сумма первых 7 членов равна 161,25, а знаменатель равен 1/2. Подставим эти значения в формулу:
\[161,25 = \frac{{a(1 - (\frac{1}{2})^7)}}{{1 - \frac{1}{2}}}\]

Выполним вычисления:
\[161,25 = \frac{{a(1 - \frac{1}{128})}}{{\frac{1}{2}}}\]
\[161,25 = 2a(1 - \frac{1}{128})\]
\[161,25 = 2a(\frac{127}{128})\]
\[161,25 = \frac{{254a}}{{128}}\]

Теперь решим уравнение относительно a:
\[161,25 \cdot \frac{{128}}{{254}} = a\]
\[= 80,625 = a\]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 80,625.

2. Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (Bn) можно использовать формулу:
\[S_n = \frac{{a(1 - r^n)}}{{1 - r}}\]

Из условия задачи нам известно, что первый член равен 12 и знаменатель равен 1. Также нам нужно найти сумму первых 27 членов. Подставим значения в формулу:
\[S_{27} = \frac{{12(1 - 1^{27})}}{{1 - 1}}\]
\[S_{27} = \frac{{12(1 - 1)}}{{0}}\]

К сожалению, здесь возникает деление на ноль, что недопустимо. В данном случае сумма первых 27 членов геометрической прогрессии не определена.

3. Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (Cn) можно использовать формулу:
\[S_n = \frac{{a(1 - r^n)}}{{1 - r}}\]

Из условия задачи нам известно, что первый член равен 550 и знаменатель равен -0,1. Также нам нужно найти сумму первых 5 членов. Подставим значения в формулу:
\[S_5 = \frac{{550(1 - (-0,1)^5)}}{{1 - (-0,1)}}\]
\[S_5 = \frac{{550(1 - 0,00001)}}{{1,1}}\]

Выполним вычисления:
\[S_5 = \frac{{550(0,99999)}}{{1,1}}\]
\[S_5 = \frac{{54999,45}}{{1,1}}\]
\[S_5 \approx 49999,50\]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна приблизительно 49999,50.

4. Нам нужно найти сумму всех натуральных степеней числа 3 от первой до восьмой, включая оба конца.

Сумма всех натуральных степеней числа 3 от первой до n-й степени можно найти по формуле:
\[S_n = \frac{{a(r^n - 1)}}{{r - 1}}\]
где Sn - сумма всех натуральных степеней, a - первая степень (в данном случае 3^1 = 3), r - основание степени (в данном случае 3), n - последняя степень.

Подставим значения в формулу:
\[S_8 = \frac{{3(3^8 - 1)}}{{3 - 1}}\]
\[S_8 = \frac{{3(6561 - 1)}}{{2}}\]

Выполним вычисления:
\[S_8 = \frac{{3(6560)}}{{2}}\]
\[S_8 = \frac{{19680}}{{2}}\]
\[S_8 = 9840\]

Таким образом, сумма всех натуральных степеней числа 3 от первой до восьмой, включая оба конца, равна 9840.

5. Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии (An) можно использовать формулу:
\[S_n = \frac{{n(2a + (n - 1)d)}}{{2}}\]
где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

Из условия задачи нам известно, что первый член равен 8, а разность равна ? (разница не указана). Если вы укажете значение разности, я смогу решить задачу полностью.

Однако, я могу продемонстрировать формулу с примером, предполагая, что разность равна 1. Подставим значения в формулу:
\[S_5 = \frac{{5(2 \cdot 8 + (5 - 1) \cdot 1)}}{{2}}\]
\[S_5 = \frac{{5(16 + 4)}}{{2}}\]
\[S_5 = \frac{{5(20)}}{{2}}\]
\[S_5 = \frac{{100}}{{2}}\]
\[S_5 = 50\]

Если разность равна 1, то сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 50.

Пожалуйста, уточните значение разности, чтобы я мог решить задачу полностью.