1. Какой будет первый член геометрической прогрессии (An), если сумма первых семи членов равна 161,25, а знаменатель

Давайте по очереди решим каждую задачу.

1. Для нахождения первого члена геометрической прогрессии (An) нужно использовать формулу суммы первых n членов:
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Из условия задачи нам известно, что сумма первых 7 членов равна 161,25, а знаменатель равен 1/2. Подставим эти значения в формулу:
$$161,25=\frac{a(1-(\frac{1}{2}{)}^7)}{1-\frac{1}{2}}$$

Выполним вычисления:
$$161,25=\frac{a(1-\frac{1}{128})}{\frac{1}{2}}$$
$$161,25=2a(1-\frac{1}{128})$$
$$161,25=2a(\frac{127}{128})$$
$$161,25=\frac{254a}{128}$$

Теперь решим уравнение относительно a:
$$161,25\cdot \frac{128}{254}=a$$
$$=80,625=a$$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 80,625.

2. Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (Bn) можно использовать формулу:
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Из условия задачи нам известно, что первый член равен 12 и знаменатель равен 1. Также нам нужно найти сумму первых 27 членов. Подставим значения в формулу:
$$S_{27}=\frac{12(1-1^{27})}{1-1}$$
$$S_{27}=\frac{12(1-1)}{0}$$

К сожалению, здесь возникает деление на ноль, что недопустимо. В данном случае сумма первых 27 членов геометрической прогрессии не определена.

3. Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (Cn) можно использовать формулу:
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Из условия задачи нам известно, что первый член равен 550 и знаменатель равен -0,1. Также нам нужно найти сумму первых 5 членов. Подставим значения в формулу:
$$S_5=\frac{550(1-(-0,1{)}^5)}{1-(-0,1)}$$
$$S_5=\frac{550(1-0,00001)}{1,1}$$

Выполним вычисления:
$$S_5=\frac{550(0,99999)}{1,1}$$
$$S_5=\frac{54999,45}{1,1}$$
$$S_5\approx 49999,50$$

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна приблизительно 49999,50.

4. Нам нужно найти сумму всех натуральных степеней числа 3 от первой до восьмой, включая оба конца.

Сумма всех натуральных степеней числа 3 от первой до n-й степени можно найти по формуле:
$$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
где Sn - сумма всех натуральных степеней, a - первая степень (в данном случае 3^1 = 3), r - основание степени (в данном случае 3), n - последняя степень.

Подставим значения в формулу:
$$S_8=\frac{3(3^8-1)}{3-1}$$
$$S_8=\frac{3(6561-1)}{2}$$

Выполним вычисления:
$$S_8=\frac{3(6560)}{2}$$
$$S_8=\frac{19680}{2}$$
$$S_8=9840$$

Таким образом, сумма всех натуральных степеней числа 3 от первой до восьмой, включая оба конца, равна 9840.

5. Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии (An) можно использовать формулу:
$$S_n=\frac{n(2a+(n-1)d)}{2}$$
где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

Из условия задачи нам известно, что первый член равен 8, а разность равна ? (разница не указана). Если вы укажете значение разности, я смогу решить задачу полностью.

Однако, я могу продемонстрировать формулу с примером, предполагая, что разность равна 1. Подставим значения в формулу:
$$S_5=\frac{5(2\cdot 8+(5-1)\cdot 1)}{2}$$
$$S_5=\frac{5(16+4)}{2}$$
$$S_5=\frac{5(20)}{2}$$
$$S_5=\frac{100}{2}$$
$$S_5=50$$

Если разность равна 1, то сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 50.

Пожалуйста, уточните значение разности, чтобы я мог решить задачу полностью.