Каков закон распределения случайной величины X, которая представляет собой общее число попаданий при выстреле всех трех

Для начала определим случайную величину X, которая представляет собой общее число попаданий при выстреле всех трех орудий в цель. Поскольку каждый выстрел является независимым событием и может быть либо попаданием, либо промахом, то X может принимать значения от 0 до 3.

Для составления функции распределения X проанализируем все возможные значения, которые может принимать X, и вероятности их появления.

Когда X = 0 (нет попаданий), это означает, что все три орудия промахнулись в цель. Вероятность такого события равна вероятности промаха одного орудия, возведенной в куб. Пусть p будет вероятностью попадания в цель для каждого орудия. Тогда вероятность промаха одного орудия будет равна (1-p), и вероятность того, что все три орудия промажут, будет (1-p)^3.

Аналогично, когда X = 1 (одно попадание), это означает, что только одно орудие попало в цель, а два других промахнулись. Вероятность такого события можно представить как вероятность попадания в цель для одного орудия, умноженную на вероятность промаха для двух орудий. С учетом попадания в цель для разных орудий, это будет равно 3p(1-p)^2, так как одно орудие может попасть, в то время как два других будут промахиваться.

Когда X = 2 (два попадания), это означает, что два орудия попали в цель, а одно промахнулось. Аналогично предыдущему случаю, вероятность этого события будет равна 3p^2(1-p).

Наконец, когда X = 3 (три попадания), это означает, что все три орудия попали в цель. Вероятность этого события равна вероятности попадания в цель для каждого орудия, возведенной в куб, то есть p^3.

Таким образом, функция распределения X будет выглядеть следующим образом:

\[P(X=k) = \begin{cases}
(1-p)^3, & \text{если } k=0 \\
3p(1-p)^2, & \text{если } k=1 \\
3p^2(1-p), & \text{если } k=2 \\
p^3, & \text{если } k=3 \\
0, & \text{иначе}
\end{cases}\]

Теперь построим график функции распределения X:

\[Image\]

Для вычисления значения математического ожидания M(X) воспользуемся следующей формулой:

\[M(X) = \sum{X \cdot P(X)}\]

Вычислим значения для каждого возможного значения X и соответствующие вероятности:

\[M(X) = 0 \cdot (1-p)^3 + 1 \cdot 3p(1-p)^2 + 2 \cdot 3p^2(1-p) + 3 \cdot p^3\]

Теперь остается упростить и вычислить итоговое значение математического ожидания.

Таким образом, ответ на вашу задачу: закон распределения случайной величины X представлен функцией распределения, а значение математического ожидания равно M(X).