1) Каковы углы между диагоналями параллелепипеда с квадратным основанием, если диагональ в два раза больше стороны

1) Пусть сторона квадрата основания параллелепипеда равна \(a\) (в единицах длины). Согласно условию, диагональ основания равна \(d = 2a\). Также, диагонали параллелепипеда лежат в одной диагональной плоскости. Чтобы найти углы между диагоналями, нам понадобится использовать теорему косинусов.

Пусть \(AC\) и \(BD\) — диагонали параллелепипеда, где точка \(A\) — вершина противоположная точке \(C\) на основании, а точка \(B\) — вершина противоположная точке \(D\) на основании. Обозначим угол между диагоналями как \(\alpha\).

\[
\begin{aligned}
AC^{2} &= AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\alpha) \\
BD^{2} &= BA^{2} + AD^{2} - 2 \cdot BA \cdot AD \cdot \cos(\alpha)
\end{aligned}
\]

Однако, поскольку диагонали лежат в одной плоскости, их длины равны: \(AC = BD = 2a\). Подставив это значение, получим:
\[
\begin{aligned}
4a^{2} &= AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\alpha) \\
4a^{2} &= BA^{2} + AD^{2} - 2 \cdot BA \cdot AD \cdot \cos(\alpha)
\end{aligned}
\]

Также, поскольку диагональ основания в два раза больше стороны основания, \(AB = BC = AD = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}\). Подставив это значение, получим:
\[
\begin{aligned}
4a^{2} &= (a\sqrt{2})^{2} + BC^{2} - 2 \cdot (a\sqrt{2}) \cdot BC \cdot \cos(\alpha) \\
4a^{2} &= (a\sqrt{2})^{2} + AD^{2} - 2 \cdot (a\sqrt{2}) \cdot AD \cdot \cos(\alpha)
\end{aligned}
\]

Упростив выражения, получим:
\[
\begin{aligned}
4a^{2} &= 2a^{2} + BC^{2} - 2a^{2} \cdot BC \cdot \cos(\alpha) \\
4a^{2} &= 2a^{2} + AD^{2} - 2a^{2} \cdot AD \cdot \cos(\alpha)
\end{aligned}
\]

Теперь можно упростить уравнения. Вычтем из первого уравнения второе:
\[
BC^{2} - AD^{2} + 2a^{2} \cdot BC \cdot \cos(\alpha) - 2a^{2} \cdot AD \cdot \cos(\alpha) = 0
\]

А теперь разделим обе части уравнения на \(BC^{2} - AD^{2}\):
\[
\frac{(BC^{2} - AD^{2}) + 2a^{2} \cdot BC \cdot \cos(\alpha) - 2a^{2} \cdot AD \cdot \cos(\alpha)}{BC^{2} - AD^{2}} = 0
\]

Можно заметить, что \(BC^{2} - AD^{2} = 0\), так как диагонали параллелепипеда лежат в одной плоскости. Получаем:
\[
2a^{2} \cdot BC \cdot \cos(\alpha) - 2a^{2} \cdot AD \cdot \cos(\alpha) = 0
\]

Теперь можно вынести за скобки \(\cos(\alpha)\):
\[
2a^{2} \cdot \cos(\alpha) \cdot (BC - AD) = 0
\]

Так как \(\cos(\alpha)\) не равен нулю (так как угол между диагоналями существует), то должно выполняться:
\[
BC - AD = 0
\]

Подставим значения из условия, где \(BC = 2a\) и \(AD = a\sqrt{2}\):
\[
2a - a\sqrt{2} = 0
\]

Теперь найдем значение \(a\):
\[
\begin{aligned}
a(2 - \sqrt{2}) &= 0 \\
a &= 0 \quad \text{или} \quad 2 - \sqrt{2} = 0 \quad \text{(противоречие)}
\end{aligned}
\]

Исключив противоречие, получаем, что \(a = 0\). Однако, в математике длины не могут быть нулевыми, поэтому решение не существует.

2) Пусть сторона квадрата основания параллелепипеда равна \(a\) (в единицах длины). Согласно условию, диагональ основания равна \(d = 2a\). Теперь рассмотрим ситуацию, когда диагонали лежат в разных диагональных плоскостях.

Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти углы между диагоналями. Обозначим угол между диагоналями как \(\alpha\).

Пусть \(AC\) и \(BD\) — диагонали параллелепипеда, где точка \(A\) — вершина противоположная точке \(C\) на основании, а точка \(B\) — вершина противоположная точке \(D\) на основании.

Применим теорему косинусов к треугольнику \(ACD\):
\[
AC^{2} = AD^{2} + CD^{2} - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\alpha)
\]

Применим теорему косинусов к треугольнику \(ABC\):
\[
AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\alpha)
\]

Подставим \(AC = BD = 2a\) и \(AB = BC = AD = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}\):
\[
\begin{aligned}
4a^{2} &= AD^{2} + CD^{2} - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\alpha) \\
4a^{2} &= AC^{2} + BC^{2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\alpha)
\end{aligned}
\]

Упростим выражения:
\[
\begin{aligned}
4a^{2} &= AD^{2} + CD^{2} - 2a^{2} \cdot CD \cdot \cos(\alpha) \\
4a^{2} &= AC^{2} + BC^{2} - 2a^{2} \cdot BC \cdot \cos(\alpha)
\end{aligned}
\]

Учтем, что \(AD = a\sqrt{2}\), \(CD = BC = 2a\) и \(AC = 2a\). Подставив значения, получим:
\[
\begin{aligned}
4a^{2} &= (a\sqrt{2})^{2} + (2a)^{2} - 2a^{2} \cdot (2a) \cdot \cos(\alpha) \\
4a^{2} &= (2a)^{2} + (2a)^{2} - 2a^{2} \cdot (2a) \cdot \cos(\alpha)
\end{aligned}
\]

Упростим выражения:
\[
\begin{aligned}
4a^{2} &= 2a^{2} + 4a^{2} - 4a^{3} \cdot \cos(\alpha) \\
4a^{2} &= 4a^{2} + 4a^{2} - 4a^{3} \cdot \cos(\alpha)
\end{aligned}
\]

Даны два уравнения, но они равносильны, поэтому достаточно решить только одно из них. Поделим обе части на \(4a^{2}\):
\[
1 = 1 - a \cdot \cos(\alpha)
\]

Отсюда получаем:
\[
a \cdot \cos(\alpha) = 0
\]

Так как \(a\) не равно нулю (поскольку длина не может быть нулевой), то должно выполняться:
\[
\cos(\alpha) = 0
\]

Таким образом, угол \(\alpha\) равен 90 градусам или \(\frac{\pi}{2}\) радиан.

3) Мы имеем следующую ситуацию: из данной точки проведены перпендикуляр и наклонная к плоскости, а их разность равна 25 см, а расстояние между их серединами — 32,5 см.

Пусть данная точка называется \(P\) (в единицах длины), перпендикуляр называется \(PM\) и наклонная — \(PN\). Кроме того, обозначим угол между перпендикуляром и наклонной как \(\alpha\) (в радианах).

Так как нам известна разность между перпендикуляром и наклонной, а также расстояние между их серединами, мы можем построить следующую формулу:
\[
PN - PM = 25
\]

Также, используя теорему косинусов для треугольника \(PXM\), мы можем записать следующее уравнение:
\[
PX^{2} = PM^{2} + XM^{2} - 2 \cdot PM \cdot XM \cdot \cos(\alpha)
\]

Кроме того, мы знаем, что диагональ треугольника — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Поэтому \(PX = 2 \cdot PM\). Подставим это значение:
\[
(2PM)^{2} = PM^{2} + XM^{2} - 2 \cdot PM \cdot XM \cdot \cos(\alpha)
\]

Упростим выражение:
\[
4PM^{2} = PM^{2} + XM^{2} - 2PM \cdot XM \cdot \cos(\alpha)
\]

Теперь рассмотрим второе уравнение. Мы знаем, что расстояние между серединами перпендикуляра и наклонной равно 32,5 см. Обозначим это расстояние как \(DM\). Таким образом, у нас есть следующее уравнение:
\[
DM = \frac{PM + PN}{2}
\]

Подставим значения \(PN = PM + 25\) и упростим:
\[
DM = \frac{PM + PM + 25}{2} = \frac{2PM + 25}{2} = PM + \frac{25}{2}
\]

Но мы также знаем, что \(DM = XM - PM\). Подставим это значение:
\[
XM - PM = PM + \frac{25}{2}
\]

Теперь избавимся от \(PM\) в этом уравнении:
\[
XM - 2PM = \frac{25}{2}
\]

Теперь у нас есть два уравнения:
\[
\begin{aligned}
4PM^{2} &= PM^{2} + XM^{2} - 2PM \cdot XM \cdot \cos(\alpha) \\
XM - 2PM &= \frac{25}{2}
\end{aligned}
\]

Мы можем решить второе уравнение относительно \(XM\):
\[
XM = \frac{25}{2} + 2PM
\]

Подставим это значение в первое уравнение:
\[
\begin{aligned}
4PM^{2} &= PM^{2} + \left(\frac{25}{2} + 2PM\right)^{2} - 2PM \cdot \left(\frac{25}{2} + 2PM\right) \cdot \cos(\alpha) \\
\end{aligned}
\]

Упростим выражение:
\[
\begin{aligned}
4PM^{2} &= PM^{2} + \left(\frac{625}{4} + 25PM + 4PM^{2}\right) - 2PM \cdot \left(\frac{25}{2} + 2PM\right) \cdot \cos(\alpha) \\
\end{aligned}
\]

Теперь упростим уравнение:
\[
\begin{aligned}
4PM^{2} &= PM^{2} + \frac{625}{4} + 25PM + 4PM^{2} - 2PM \cdot \left(\frac{25}{2}\right) - 2PM \cdot \left(2PM\right) \cdot \cos(\alpha) \\
\end{aligned}
\]

Еще раз упростим уравнение:
\[
\begin{aligned}
4PM^{2} - PM^{2} - 4PM^{2} &= \frac{625}{4} + 25PM - 25PM - 4PM^{2} \cdot \cos(\alpha) \\
\end{aligned}
\]

У нас остается только \(PM^{2} \cdot \cos(\alpha)\):
\[
\begin{aligned}
PM^{2} \cdot \cos(\alpha) &= \frac{625}{4} \\
\end{aligned}
\]

Получается,