1) Каковы углы между диагоналями параллелепипеда с квадратным основанием, если диагональ в два раза больше стороны

1) Пусть сторона квадрата основания параллелепипеда равна $a$ (в единицах длины). Согласно условию, диагональ основания равна $d=2a$. Также, диагонали параллелепипеда лежат в одной диагональной плоскости. Чтобы найти углы между диагоналями, нам понадобится использовать теорему косинусов.

Пусть $AC$ и $BD$ — диагонали параллелепипеда, где точка $A$ — вершина противоположная точке $C$ на основании, а точка $B$ — вершина противоположная точке $D$ на основании. Обозначим угол между диагоналями как $\alpha$.

$$\begin{array}{rl}A{C}^2& =A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (\alpha )\\ B{D}^2& =B{A}^2+A{D}^2-2\cdot BA\cdot AD\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Однако, поскольку диагонали лежат в одной плоскости, их длины равны: $AC=BD=2a$. Подставив это значение, получим:
$$\begin{array}{rl}4a^2& =A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (\alpha )\\ 4a^2& =B{A}^2+A{D}^2-2\cdot BA\cdot AD\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Также, поскольку диагональ основания в два раза больше стороны основания, $AB=BC=AD=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$. Подставив это значение, получим:
$$\begin{array}{rl}4a^2& =(a\sqrt{2}{)}^2+B{C}^2-2\cdot (a\sqrt{2})\cdot BC\cdot \cos (\alpha )\\ 4a^2& =(a\sqrt{2}{)}^2+A{D}^2-2\cdot (a\sqrt{2})\cdot AD\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Упростив выражения, получим:
$$\begin{array}{rl}4a^2& =2a^2+B{C}^2-2a^2\cdot BC\cdot \cos (\alpha )\\ 4a^2& =2a^2+A{D}^2-2a^2\cdot AD\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Теперь можно упростить уравнения. Вычтем из первого уравнения второе:
$$B{C}^2-A{D}^2+2a^2\cdot BC\cdot \cos (\alpha )-2a^2\cdot AD\cdot \cos (\alpha )=0$$

А теперь разделим обе части уравнения на $B{C}^2-A{D}^2$:
$$\frac{(B{C}^2-A{D}^2)+2a^2\cdot BC\cdot \cos (\alpha )-2a^2\cdot AD\cdot \cos (\alpha )}{B{C}^2-A{D}^2}=0$$

Можно заметить, что $B{C}^2-A{D}^2=0$, так как диагонали параллелепипеда лежат в одной плоскости. Получаем:
$$2a^2\cdot BC\cdot \cos (\alpha )-2a^2\cdot AD\cdot \cos (\alpha )=0$$

Теперь можно вынести за скобки $\cos (\alpha )$:
$$2a^2\cdot \cos (\alpha )\cdot (BC-AD)=0$$

Так как $\cos (\alpha )$ не равен нулю (так как угол между диагоналями существует), то должно выполняться:
$$BC-AD=0$$

Подставим значения из условия, где $BC=2a$ и $AD=a\sqrt{2}$:
$$2a-a\sqrt{2}=0$$

Теперь найдем значение $a$:
$$\begin{array}{rl}a(2-\sqrt{2})& =0\\ a& =0\text{или}2-\sqrt{2}=0\text{(противоречие)}\end{array}$$

Исключив противоречие, получаем, что $a=0$. Однако, в математике длины не могут быть нулевыми, поэтому решение не существует.

2) Пусть сторона квадрата основания параллелепипеда равна $a$ (в единицах длины). Согласно условию, диагональ основания равна $d=2a$. Теперь рассмотрим ситуацию, когда диагонали лежат в разных диагональных плоскостях.

Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти углы между диагоналями. Обозначим угол между диагоналями как $\alpha$.

Пусть $AC$ и $BD$ — диагонали параллелепипеда, где точка $A$ — вершина противоположная точке $C$ на основании, а точка $B$ — вершина противоположная точке $D$ на основании.

Применим теорему косинусов к треугольнику $ACD$:
$$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos (\alpha )$$

Применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$:
$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos (\alpha )$$

Подставим $AC=BD=2a$ и $AB=BC=AD=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$:
$$\begin{array}{rl}4a^2& =A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos (\alpha )\\ 4a^2& =A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Упростим выражения:
$$\begin{array}{rl}4a^2& =A{D}^2+C{D}^2-2a^2\cdot CD\cdot \cos (\alpha )\\ 4a^2& =A{C}^2+B{C}^2-2a^2\cdot BC\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Учтем, что $AD=a\sqrt{2}$, $CD=BC=2a$ и $AC=2a$. Подставив значения, получим:
$$\begin{array}{rl}4a^2& =(a\sqrt{2}{)}^2+(2a{)}^2-2a^2\cdot (2a)\cdot \cos (\alpha )\\ 4a^2& =(2a{)}^2+(2a{)}^2-2a^2\cdot (2a)\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Упростим выражения:
$$\begin{array}{rl}4a^2& =2a^2+4a^2-4a^3\cdot \cos (\alpha )\\ 4a^2& =4a^2+4a^2-4a^3\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Даны два уравнения, но они равносильны, поэтому достаточно решить только одно из них. Поделим обе части на $4a^2$:
$$1=1-a\cdot \cos (\alpha )$$

Отсюда получаем:
$$a\cdot \cos (\alpha )=0$$

Так как $a$ не равно нулю (поскольку длина не может быть нулевой), то должно выполняться:
$$\cos (\alpha )=0$$

Таким образом, угол $\alpha$ равен 90 градусам или $\frac{\pi }{2}$ радиан.

3) Мы имеем следующую ситуацию: из данной точки проведены перпендикуляр и наклонная к плоскости, а их разность равна 25 см, а расстояние между их серединами — 32,5 см.

Пусть данная точка называется $P$ (в единицах длины), перпендикуляр называется $PM$ и наклонная — $PN$. Кроме того, обозначим угол между перпендикуляром и наклонной как $\alpha$ (в радианах).

Так как нам известна разность между перпендикуляром и наклонной, а также расстояние между их серединами, мы можем построить следующую формулу:
$$PN-PM=25$$

Также, используя теорему косинусов для треугольника $PXM$, мы можем записать следующее уравнение:
$$P{X}^2=P{M}^2+X{M}^2-2\cdot PM\cdot XM\cdot \cos (\alpha )$$

Кроме того, мы знаем, что диагональ треугольника — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Поэтому $PX=2\cdot PM$. Подставим это значение:
$$(2PM{)}^2=P{M}^2+X{M}^2-2\cdot PM\cdot XM\cdot \cos (\alpha )$$

Упростим выражение:
$$4P{M}^2=P{M}^2+X{M}^2-2PM\cdot XM\cdot \cos (\alpha )$$

Теперь рассмотрим второе уравнение. Мы знаем, что расстояние между серединами перпендикуляра и наклонной равно 32,5 см. Обозначим это расстояние как $DM$. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:
$$DM=\frac{PM+PN}{2}$$

Подставим значения $PN=PM+25$ и упростим:
$$DM=\frac{PM+PM+25}{2}=\frac{2PM+25}{2}=PM+\frac{25}{2}$$

Но мы также знаем, что $DM=XM-PM$. Подставим это значение:
$$XM-PM=PM+\frac{25}{2}$$

Теперь избавимся от $PM$ в этом уравнении:
$$XM-2PM=\frac{25}{2}$$

Теперь у нас есть два уравнения:
$$\begin{array}{rl}4P{M}^2& =P{M}^2+X{M}^2-2PM\cdot XM\cdot \cos (\alpha )\\ XM-2PM& =\frac{25}{2}\end{array}$$

Мы можем решить второе уравнение относительно $XM$:
$$XM=\frac{25}{2}+2PM$$

Подставим это значение в первое уравнение:
$$\begin{array}{rl}4P{M}^2& =P{M}^2+{(\frac{25}{2}+2PM)}^2-2PM\cdot (\frac{25}{2}+2PM)\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Упростим выражение:
$$\begin{array}{rl}4P{M}^2& =P{M}^2+(\frac{625}{4}+25PM+4P{M}^2)-2PM\cdot (\frac{25}{2}+2PM)\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Теперь упростим уравнение:
$$\begin{array}{rl}4P{M}^2& =P{M}^2+\frac{625}{4}+25PM+4P{M}^2-2PM\cdot \left(\frac{25}{2}\right)-2PM\cdot \left(2PM\right)\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

Еще раз упростим уравнение:
$$\begin{array}{rl}4P{M}^2-P{M}^2-4P{M}^2& =\frac{625}{4}+25PM-25PM-4P{M}^2\cdot \cos (\alpha )\end{array}$$

У нас остается только $P{M}^2\cdot \cos (\alpha )$:
$$\begin{array}{rl}P{M}^2\cdot \cos (\alpha )& =\frac{625}{4}\end{array}$$

Получается,