1. Каково расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, если плоскость, проходящая параллельно оси цилиндра

Конечно! Давайте решим каждую задачу по порядку.

1. Чтобы найти расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, давайте воспользуемся следующими шагами:

Шаг 1: Найдем площадь дуги, отсекаемой плоскостью.
Обратимся к известной формуле, площадь сектора окружности равна \( \frac{{\theta}}{360^\circ} \times \pi r^2 \), где \( \theta \) - угол сектора, а \( r \) - радиус окружности.

Зная, что дуга составляет 60° и площадь сечения равна 360 квадратных единицам, мы можем записать уравнение:
\( \frac{60}{360} \times \pi r^2 = 360 \).

Шаг 2: Найдем радиус цилиндра.
Разрешим уравнение относительно \( r \):
\( \frac{60}{360} \times \pi r^2 = 360 \).
Упростим выражение:
\( \frac{1}{6} \times \pi r^2 = 360 \).
Умножим обе части на 6:
\( \pi r^2 = 2160 \).
Разделим обе части на \( \pi \):
\( r^2 = \frac{2160}{\pi} \).
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\( r \approx \sqrt{\frac{2160}{\pi}} \).

Шаг 3: Найдем расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
Так как плоскость сечения параллельна оси и проходит через центр основания цилиндра, расстояние от оси до плоскости будет равно радиусу цилиндра.
То есть расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения составляет около \(\sqrt{\frac{2160}{\pi}}\) единиц.

2. Для решения этой задачи, воспользуемся теми же шагами:

Шаг 1: Найдем площадь дуги, отсекаемой плоскостью.
В данном случае, площадь дуги равна \(\frac{90}{360} \times \pi r^2\), так как плоскость отсекает 90°.

Шаг 2: Найдем радиус цилиндра.
По формуле площади сечения цилиндра: \(A = a^2\), где \(a\) - сторона квадрата, а \(A\) - площадь сечения.
Мы знаем, что площадь сечения равна 6 квадратным сантиметрам, следовательно \(a^2 = 6\).
Извлекаем квадратный корень:
\(a = \sqrt{6}\).

Шаг 3: Найдем расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
Как и в предыдущей задаче, расстояние от оси до плоскости равно радиусу цилиндра.
То есть расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно \(\sqrt{6}\) сантиметров.

3. Давайте решим эту задачу:

Шаг 1: Найдем высоту цилиндра.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 8 квадратным единицам, а площадь основания составляет 4 квадратные единицы.
Высота цилиндра определяется по формуле \(V = A \times h\), где \(V\) - объем цилиндра, \(A\) - площадь основания, а \(h\) - высота цилиндра.

Так как площадь осевого сечения равна площади основания, мы можем записать уравнение:
\(4 \times h = 8\).
Разделим обе части на 4:
\(h = \frac{8}{4}\).
Упростим выражение:
\(h = 2\).

Таким образом, высота цилиндра составляет 2 единицы.