1) Каково число вариантов окрашивания каждой клетки квадратной таблицы размером 3×3 в четыре различных цвета: черный

1) Для решения этой задачи мы можем использовать принцип умножения. У нас есть 4 различных цвета, которыми мы можем окрасить каждую клетку таблицы. Так как таблица имеет размер 3 × 3, у нас есть 9 клеток, которые нужно окрасить.

Для первой клетки у нас есть 4 возможных варианта окрашивания. Для второй клетки также 4 варианта, так как цвета могут повторяться. Таким образом, для первых двух клеток у нас есть \(4 \times 4 = 16\) возможных комбинаций окрашивания.

Для каждой следующей клетки также будет 4 возможных варианта окрашивания. Так как у нас 9 клеток, мы будем умножать количество возможностей для каждой клетки, получая следующую формулу:

\[
4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^9 = 262,144
\]

Таким образом, количество вариантов окрашивания каждой клетки квадратной таблицы размером 3 × 3 в четыре различных цвета равно 262,144.

2) Для решения этой задачи нам необходимо определить количество гласных и согласных букв в слове "арифметика". В данном случае у нас есть 5 гласных букв (а, и, е, и, а) и 5 согласных букв (р, ф, м, т, к).

При выборе пары из одной гласной и одной согласной буквы, порядок элементов в паре не важен, поэтому нам необходимо использовать комбинаторную формулу для сочетаний без повторений.

Чтобы определить количество возможных комбинаций, мы должны выбрать 1 гласную букву из 5 возможных вариантов и 1 согласную букву из 5 возможных вариантов. Формула для сочетаний без повторений выглядит следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}
\]

Где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

Применяя эту формулу к нашей задаче, мы получаем количество комбинаций следующим образом:

\[
C(5, 1) \cdot C(5, 1) = \frac{{5!}}{{1! \cdot (5 - 1)!}} \cdot \frac{{5!}}{{1! \cdot (5 - 1)!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} \cdot \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10 \cdot 10 = 100
\]

Таким образом, существует 100 возможных комбинаций выбора пары из одной гласной и одной согласной буквы в слове "арифметика".