1. Какова высота и радиус цилиндра, если его площадь боковой поверхности и полная поверхность, а также объем известны?

1. Для решения этой задачи мы можем использовать следующие формулы для цилиндра:

Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{\text{бп}} = 2\pi rh\)
Полная поверхность цилиндра: \(S_{\text{пп}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh\)
Объем цилиндра: \(V = \pi r^2 h\)

Поскольку известны площадь боковой поверхности (\(S_{\text{бп}}\)), полная поверхность (\(S_{\text{пп}}\)) и объем (\(V\)), мы можем подставить эти значения в соответствующие формулы и решить их систему уравнений, чтобы найти значения высоты (\(h\)) и радиуса (\(r\)) цилиндра.

2. Для решения этой задачи мы можем использовать следующие формулы для конуса:

Площадь боковой поверхности конуса: \(S_{\text{бп}} = \pi r l\)
Полная поверхность конуса: \(S_{\text{пп}} = \pi r l + \pi r^2\)
Объем конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)

Используя известные значения радиуса (\(r\)), высоты (\(h\)) и образующей конуса (\(l\)), мы можем подставить их в соответствующие формулы, чтобы получить площадь боковой поверхности (\(S_{\text{бп}}\)), полную поверхность (\(S_{\text{пп}}\)) и объем (\(V\)) конуса.

3. Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, если известна развертка его боковой поверхности в виде квадрата со стороной 1, нам нужно учесть, что развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, периметр которого равен длине окружности основания цилиндра.

Периметр прямоугольника = 4 стороны = 4

Длина окружности основания цилиндра равна периметру прямоугольника, поэтому

\(2\pi r = 4\)

Отсюда можно выразить радиус основания цилиндра \(r\):

\(r = \frac{4}{2\pi} = \frac{2}{\pi}\)

Затем мы можем найти площадь полной поверхности цилиндра, используя формулу:

Площадь полной поверхности цилиндра: \(S_{\text{пп}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh\)

Подставляем найденное значение радиуса и решаем уравнение для нахождения площади полной поверхности цилиндра.

4. Чтобы найти площадь сферы и объем шара, имея длину окружности, нам нужно знать радиус этой окружности. Длина окружности равна \(2\pi r\), где \(r\) - радиус сферы.

Мы можем выразить радиус сферы \(r\) из этого уравнения:

\(2\pi r = \text{длина окружности}\)

Если мы знаем длину окружности, мы можем решить это уравнение для радиуса \(r\).

Площадь сферы вычисляется по формуле:

Площадь сферы: \(S = 4\pi r^2\)

Объем шара вычисляется по формуле:

Объем шара: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)

Используя найденное значение радиуса \(r\), мы можем вычислить площадь сферы и объем шара.