Які довжини діагоналей паралелограма, якщо його сторони мають довжини 3 см і 8 см, а кут між ними - 60°?

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства параллелограмма и тригонометрические формулы. Давайте начнем!

Параллелограм является четырехугольником, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. Таким образом, у нас есть две пары равных сторон длиной 3 см и 8 см.

Также нам известно, что угол между этими сторонами составляет 60°. Для нахождения длин диагоналей параллелограмма мы можем воспользоваться тригонометрическими формулами.

Давайте рассмотрим первую диагональ. Обозначим ее длину как \(d_1\). Мы можем разделить параллелограм на два равных треугольника, каждый из которых будет иметь одну из сторон равной 3 см, другую сторону равной 8 см и угол между ними равным 60°.

С помощью тригонометрических формул, мы можем найти третью сторону треугольника, используя косинусный закон:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\]

Где:
- \(a\) - длина стороны треугольника, противоположной углу А,
- \(b\) и \(c\) - длины двух других сторон треугольника,
- \(A\) - угол между сторонами \(b\) и \(c\).

В нашем случае сторона \(a\) является искомой диагональю \(d_1\), стороны \(b\) и \(c\) равны 3 см и 8 см соответственно, а угол \(A\) равен 60°.

Подставив значения в формулу, получим:

\[d^2_1 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60°)\]

Вычислив это выражение, получим:

\[d^2_1 = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получим:

\[d_1 = \sqrt{49} = 7\]

Таким образом, первая диагональ параллелограма равна 7 см.

Теперь рассмотрим вторую диагональ. Обозначим ее длину как \(d_2\). Разделив параллелограм на два треугольника, мы можем применить ту же тригонометрическую формулу, но используя другие значения сторон и углов.

В нашем случае стороны треугольников равны 3 см и 8 см, а угол между ними также равен 60°. Подставив значения в формулу, получим:

\[d^2_2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60°)\]

Вычислив это выражение, получим:

\[d^2_2 = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получим:

\[d_2 = \sqrt{49} = 7\]

Таким образом, вторая диагональ параллелограмма также равна 7 см.

Итак, ответ на задачу: длины диагоналей параллелограмма с заданными сторонами и углом между ними равны 7 см.