Які довжини діагоналей паралелограма, якщо його сторони мають довжини 3 см і 8 см, а кут між ними - 60°?

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства параллелограмма и тригонометрические формулы. Давайте начнем!

Параллелограм является четырехугольником, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. Таким образом, у нас есть две пары равных сторон длиной 3 см и 8 см.

Также нам известно, что угол между этими сторонами составляет 60°. Для нахождения длин диагоналей параллелограмма мы можем воспользоваться тригонометрическими формулами.

Давайте рассмотрим первую диагональ. Обозначим ее длину как $d_1$. Мы можем разделить параллелограм на два равных треугольника, каждый из которых будет иметь одну из сторон равной 3 см, другую сторону равной 8 см и угол между ними равным 60°.

С помощью тригонометрических формул, мы можем найти третью сторону треугольника, используя косинусный закон:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos (A)$$

Где:
- $a$ - длина стороны треугольника, противоположной углу А,
- $b$ и $c$ - длины двух других сторон треугольника,
- $A$ - угол между сторонами $b$ и $c$.

В нашем случае сторона $a$ является искомой диагональю $d_1$, стороны $b$ и $c$ равны 3 см и 8 см соответственно, а угол $A$ равен 60°.

Подставив значения в формулу, получим:

$$d_1^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos (60°)$$

Вычислив это выражение, получим:

$$d_1^2=9+64-48\cdot \frac{1}{2}=73-24=49$$

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получим:

$$d_1=\sqrt{49}=7$$

Таким образом, первая диагональ параллелограма равна 7 см.

Теперь рассмотрим вторую диагональ. Обозначим ее длину как $d_2$. Разделив параллелограм на два треугольника, мы можем применить ту же тригонометрическую формулу, но используя другие значения сторон и углов.

В нашем случае стороны треугольников равны 3 см и 8 см, а угол между ними также равен 60°. Подставив значения в формулу, получим:

$$d_2^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos (60°)$$

Вычислив это выражение, получим:

$$d_2^2=9+64-48\cdot \frac{1}{2}=73-24=49$$

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получим:

$$d_2=\sqrt{49}=7$$

Таким образом, вторая диагональ параллелограмма также равна 7 см.

Итак, ответ на задачу: длины диагоналей параллелограмма с заданными сторонами и углом между ними равны 7 см.